Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 04/2020

УСРЕДНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МАКСВЕЛЛА В СЛУЧАЕ ПОСТОЯННОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ

This preprint was accepted August  3, 2020

АННОТАЦИЯ:
 В $L_2({\mathbb R}^3;{\mathbb C}^3)$ рассматривается самосопряженный оператор ${\mathcal L}_\varepsilon$,
\hbox{$\varepsilon >0$}, порожденный дифференциальным выражением
$\mu_0^{-1/2}\operatorname{rot} \eta(\mathbf{x}/\varepsilon)^{-1} \operatorname{rot} \mu_0^{-1/2}
- \mu_0^{1/2}\nabla \nu(\mathbf{x}/\varepsilon) \operatorname{div} \mu_0^{1/2}$, где
$\mu_0$ --- положительная матрица,
матрица-функция $\eta(\mathbf{x})$  и вещественная функция $\nu(\mathbf{x})$ периодичны
относительно некоторой решетки, положительно определены и ограничены.
Изучается поведение оператор-функций $\cos (\tau {\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$ и
${\mathcal L}_\varepsilon^{-1/2} \sin (\tau {\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$
при $\tau \in \R$ и малом  $\varepsilon$. Показано, что эти операторы сходятся к 
соответствующим оператор-функциям от оператора ${\mathcal L}^0$ по норме операторов, действующих из
пространства Соболева $H^s$ (с подходящим $s$) в $L_2$.  Здесь ${\mathcal L}^0$
--- эффективный оператор с постоянными коэффициентами. Для оператора 
${\mathcal L}_\varepsilon^{-1/2} \sin (\tau {\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$ 
получена аппроксимация при учете корректора по $(H^s \to H^1)$-норме. 
Установлены оценки погрешности; исследован вопрос о точности результатов в отношении типа 
операторной нормы и зависимости оценок от $\tau$. Результаты применяются к вопросу об усреднении 
задачи Коши для нестационарной системы Максвелла в случае, когда магнитная проницаемость
равна $\mu_0$, а диэлектрическая проницаемость задается матрицей  $\eta(\mathbf{x}/\varepsilon)$.
 

M. A. Dorodnyi, T. A. Suslina

HOMOGENIZATION OF NONSTATIONARY PERIODIC MAXWELL SYSTEM IN THE CASE OF CONSTANT PERMEABILITY

ABSTRACT:
   
 In $L_2({\mathbb R}^3;{\mathbb C}^3)$, we consider a selfadjoint operator ${\mathcal L}_\varepsilon$,
$\varepsilon >0$, given by the differential expression 
$\mu_0^{-1/2}\operatorname{curl} \eta(\mathbf{x}/\varepsilon)^{-1} \operatorname{curl} \mu_0^{-1/2}
- \mu_0^{1/2}\nabla \nu(\mathbf{x}/\varepsilon) \operatorname{div} \mu_0^{1/2}$, where 
$\mu_0$ is a constant positive matrix,
a matrix-valued function $\eta(\mathbf{x})$  and a real-valued function $\nu(\mathbf{x})$ 
are periodic with respect to some lattice, positive definite and bounded.
We study the behavior of the operator-valued functions  $\cos (\tau {\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$ and
${\mathcal L}_\varepsilon^{-1/2} \sin (\tau {\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$
for $\tau \in {\mathbb R}$ and small  $\varepsilon$. It is shown that 
these operators converge to the corresponding operator-valued functions 
of the operator ${\mathcal L}^0$ in the norm of operators acting from the Sobolev space $H^s$ (with a suitable $s$) to $L_2$. Here ${\mathcal L}^0$ 
is the effective operator with constant coefficients. 
Also, an approximation with corrector in the  $(H^s \to H^1)$-norm 
  for the operator ${\mathcal L}_\varepsilon^{-1/2} \sin (\tau {\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$ 
is obtained.  We prove error estimates and study the sharpness of the results 
regarding the type of the operator norm and regarding the dependence 
of the estimates on $\tau$. The results are applied to homogenization of the Cauchy problem 
for the nonstationary Maxwell system in the case where the magnetic permeability 
is equal to $\mu_0$, and the dielectric permittivity is given by the matrix  $\eta(\mathbf{x}/\varepsilon)$.

 Key words:  periodic differential operators, homogenization, operator error estimates, nonstationary Maxwell system


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg