Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 11/2020

ОТВЕТ НА ВОПРОС МАТВЕЕВА О ВИРТУАЛЬНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

This preprint was accepted December 25, 2020

АННОТАЦИЯ:
Введенное в 2009 г. С.В. Матвеевым понятие виртуального трехмерного многообразия
обобщает понятие классического трехмерного многообразия. Виртуальные многообразия
определяются как классы так называемых специальных полиэдров, рассматриваемых с
точностью до обратимого преобразования T (аналога 2-3 преобразования Пахнера для
триангуляций). Это определение мотивировано тем, что компактное 3-многообразие
полностью задается своим спайном, представляющим собой утолщаемый специальный
полиэдр, причем любые два невырожденных специальных спайна одного и того же
3-многообразия связаны цепочкой T-преобразований, и тем самым мы имеем естественное
вложение множества настоящих 3-многообразий в множество виртуальных. 
Каждое виртуальное многообразие естественным образом определяет 3-многообразие с
особенностями типа конус над проективной плоскостью. Ранее С.В. Матвеев показал, что
это сопоставление сюръективно, и поставил вопрос о его инъективности.
В настоящей работе мы доказываем, что данное отображение не инъективно. Более того,
мы показываем, что виртуальные многообразия находятся в биективном соответствии с
множеством пар, состоящих из 3-многообразий с особенностями типа конус над
проективной плоскостью и набором дуг специального вида.
 

A. MALYUTIN, E. FOMINYKH

ANSWER TO MATVEEV'S QUESTION ABOUT VIRTUAL 3-MANIFOLDS

ABSTRACT:
   Introduced in 2009 by S.V. Matveev, the concept of virtual 3-manifolds generalizes
the concept of classical 3-manifolds. Virtual manifolds are defined as classes of
so-called special polyhedra, considered up to T-moves and their inverses (the T-move
is an analog of the 2-3 Pachner move for triangulations). The definition of virtual
manifolds is motivated by the fact that a compact 3-manifold is uniquely determined
by its spine (which is a thickenable special polyhedron) while any two nondegenerate
special spines of the same 3-manifold are related by a chain of T-moves, and thus we
have a natural embedding of the set of genuine 3-manifolds into the set of virtual
ones.
Each virtual manifold naturally determines a 3-manifold with
projective-plane-singularities. Matveev showed that this correspondence is
surjective and posed the question of whether it is injective.
In this paper, we prove that the above correspondence is not injective. Moreover, we
show that the set of virtual manifolds are in a natural bijective correspondence
with the set of 3-manifolds with projective-plane-singularities and equipped with
collections of arcs of a special form.

 Key words:   
3-manifold, virtual manifold, special polyhedron, Matveev-Piergallini move.


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg