Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 03/2021

HOMOGENIZATION OF THE CAUCHY PROBLEM FOR THE WAVE EQUATION WITH RAPIDLY VARYING COEFFICIENTS AND INITIAL CONDITIONS

This preprint was accepted September 16, 2021

ABSTRACT:

For a wave equation in which the wave propagation velocity $c$ contains 
a small rapidly oscillating perturbation (with amplitude of the order of $\dt$), 
we consider the Cauchy problem with rapidly varying initial conditions 
whose characteristic spatial scale $\mu$ is greater than the characteristic 
spatial scale $\e$ of oscillations of the perturbation. 
We discuss the relation of this problem to the class of problems in which 
one can use the adiabatic approximation, the Peierls substitution, 
the theory of functions of noncommuting operators, 
the theory of equations with an operator-valued symbol, etc. 
Averageability conditions on the velocity $c$ under which the original problem 
admits reduction to the Cauchy problem for an equation with coefficients 
uniformly smooth in $x$ are stated and discussed. 
The asymptotic solution of the latter gives the asymptotic solution 
of the original problem and can be constructed by methods based on 
a modified Maslov canonical operator. The reduced equation is 
a generalized wave equation, to which, depending on the relationship 
between the small parameters $\dt$, $\mu$, and $\e$, additional dispersion 
terms (i.e., terms containing derivatives of order $>2$ in 
the spatial variables $x$) can be added. 

 Key words:  
alternating zeta function, finite Dirichlet series, linear system.



 С. Доброхотов, В. Назайкинский



Осреднение в задаче Коши для волнового уравнения с быстроосциллирующими
коэффициентами и начальными условиями



АННОТАЦИЯ:

Для волнового уравнения, в котором скорость распространения волны $c(x)$
содержит малое быстроосциллирующее возмущение (с амплитудой
порядка $\delta$), рассматривается задача Коши с быстро меняющимися
начальными условиями, характерный пространственный масштаб $\mu$ которых
больше характерного пространственного масштаба $\varepsilon$ колебаний
возмущения. Обсуждается связь этой задачи с классом задач, в которых можно
использовать адиабатическое приближение, подстановку Пайерлса, теорию
функций от некоммутирующих операторов, теорию уравнений с операторнозначным
символом и т.д. Формулируются и обсуждаются условия усреднимости на
скорость $c(x)$, при которых исходная задача сводится к задаче Коши для
уравнения с коэффициентами, равномерно гладкими по $x$. Асимптотическое
решение последнего даёт асимптотическое решение исходной задачи и может
быть построено методами, основанными на модифицированном каноническом
операторе Маслова. Редуцированное уравнение представляет собой обобщенное
волновое уравнение, к которому, в зависимости от соотношений между малыми
параметрами $\delta$, $\mu$ и $\varepsilon$, могут быть добавлены
дополнительные дисперсионные члены (т.е. члены, содержащие производные
порядка $>2$ по пространственным переменным $x$).

 
  
  

Ключевые слова: 
волновое уравнение, задача Коши, быстроосциллирующие
коэффициенты, осреднение, быстроосциллирующие решения, канонический
оператор Маслова
            

 
 

 [Full text:
  Preprint in English (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg