Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 08/2021

ОБ ОПЕРАТОРНЫХ ОЦЕНКАХ ПРИ УСРЕДНЕНИИ НЕЛОКАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЁРТОЧНОГО ТИПА

This preprint was accepted December 19, 2021

ABSTRACT:

В $L_2(\R^d)$ рассматривается самосопряженный ограниченный оператор${\mathbb A}_\eps$, $\eps >0$, вида$$({\mathbb A}_\eps u) (x) = \eps^{-d-2} \int_{\R^d} a((x-y)/\eps) \mu(x/\eps, y/\eps) \left( u(x) - u(y) \right)\,dy.$$Предполагается, что $a(x)$ --- неотрицательная функция класса $L_1(\R^d)$, такая что \hbox{$a(-x)=a(x)$},  а$\mu(x,y)$ --- функция, $\Z^d$-периодическая по каждой переменной, причем $\mu(x,y) = \mu(y,x)$ и $0< \mu_- \leqslant \mu(x,y) \leqslant \mu_+< \infty$. Кроме того, предполагается, чтоконечны моменты $M_k = \int_{\R^d} |x|^k a(x)\,dx$, $k=1,2,3$.Изучается поведение резольвенты $({\mathbb A}_\eps + I)^{-1}$ при малом $\eps$.Показано, что при $\eps \to 0$ оператор $({\mathbb A}_\eps + I)^{-1}$ сходится по операторной норме в$L_2(\R^d)$ к резольвенте \hbox{$({\mathbb A}^0 + I)^{-1}$} эффективного оператора ${\mathbb A}^0$.Эффективный оператор представляет собой эллиптический дифференциальный оператор второго порядка:${\mathbb A}^0= - \operatorname{div} g^0 \nabla$.Получена оценка точного порядка $O(\eps)$ для нормы разности резольвент.

 Key words:  
нелокальные операторы свёрточного типа,периодическое усреднение, операторные оценки погрешности, эффективный оператор.



E. A. Zhizhina, A. L. Piatnitski, V. A. Sloushch, T. A. Suslina



On operator estimates in homogenization of nonlocal convolution-type operators  



АННОТАЦИЯ:

In $L_2({\mathbb R}^d)$, we consider a selfadjoint bounded operator 
${\mathbb A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, given by 
$$
({\mathbb A}_\varepsilon u) (x) = \varepsilon^{-d-2} \int_{{\mathbb R}^d} a((x-y)/\varepsilon) \mu(x/\varepsilon, y/\varepsilon) \left( u(x) - u(y) \right)\,dy.
$$
It is assumed that $a(x)$ is a nonnegative function of class $L_1({\mathbb R}^d)$ such that \hbox{$a(-x)=a(x)$},  and a function $\mu(x,y)$ is ${\mathbb Z}^d$-periodic in each variable and such that $\mu(x,y) = \mu(y,x)$ and $0< \mu_- \leqslant \mu(x,y) \leqslant \mu_+< \infty$. Moreover, it is assumed that the moments 
$M_k = \int_{{\mathbb R}^d} |x|^k a(x)\,dx$, $k=1,2,3,$ are finite.
We study the behavior of the resolvent $({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1}$ for small $\varepsilon$.
It is shown that  the operator $({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1}$ converges in the operator norm on 
$L_2({\mathbb R}^d)$ to the resolvent  \hbox{$({\mathbb A}^0 + I)^{-1}$} of the effective operator ${\mathbb A}^0$, as 
$\varepsilon \to 0$. The effective operator is an elliptic second-order differential operator:
${\mathbb A}^0= - \operatorname{div} g^0 \nabla$.
We obtain estimate of sharp order $O(\varepsilon)$ for the difference of the resolvents.
 
  
  

Ключевые слова: 
nonlocal convolution-type operators, 
periodic  homogenization, operator error estimates, effective operator.

 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg