Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 04/2022

УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТИПА ШРЁДИНГЕРА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ: РЕЗУЛЬТАТЫ С КОРРЕКТОРАМИ

This preprint was accepted June 27, 2022

АННОТАЦИЯ:

В $L_2(\R^d;\C^n)$ рассматривается самосопряженный сильно эллиптический дифференциальный	 оператор $\A_\eps$ второго порядка. 
Предполагается, что коэффициенты оператора $\A_\eps$ периодичны и зависят от $\x/\eps$, где $\eps >0$ --- малый параметр. Изучается поведение операторной экспоненты $e^{-i \A_\eps \tau}$ при малом $\varepsilon$. Результаты применяются к исследованию поведения решений задачи Коши для уравнения типа Шрёдингера 
$i \partial_\tau \u_\eps(\x,\tau) =  (\A_\eps \u_\eps)(\x,\tau)$ с начальными данными из специального класса. 
При фиксированном $\tau \in \R$ и $\eps \to 0$ решение сходится в $L_2(\R^d;\C^n)$ к решению усредненной задачи; погрешность имеет порядок $O(\eps)$.
При фиксированном $\tau \in \R$ получена аппроксимация решения $\u_\eps(\cdot,\tau)$ 
по норме в $L_2(\R^d;\C^n)$ с погрешностью $O(\eps^2)$, а также аппроксимация решения 
по норме в $H^1(\R^d;\C^n)$ с погрешностью $O(\eps)$. В этих аппроксимациях учитываются корректоры.
Отслежена зависимость погрешностей от параметра $\tau$. 
 
Ключевые слова:   
периодические дифференциальные операторы, уравнения типа Шрёдингера, 
усреднение, операторные оценки погрешности.



T. A. Suslina



Homogenization of the Schr\"{o}dinger-type equations with periodic coefficients: Results with correctors




ABSTRACT:


In $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$, we consider a selfadjoint strongly elliptic second-order differential operator 
 $\mathcal{A}_\varepsilon$. It is assumed that the coefficients of  $\mathcal{A}_\varepsilon$ are periodic and depend on $\mathbf{x}/ \varepsilon$, 
 where $\varepsilon>0$ is a small parameter. We study the behavior of the operator exponential 
 $e^{-i \mathcal{A}_\varepsilon  \tau}$ 
 for small $\varepsilon$. The results are applied to study the behavior of the solution of the Cauchy problem for the   Schr\"{o}dinger-type equation
$i \partial_\tau \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau) =  (\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon)(\mathbf{x},\tau)$ with the initial data from a special class. 
For a fixed $\tau \in {\mathbb R}$ and $\varepsilon \to 0$, the solution converges in 
$L_2({\mathbb R}^d;\mathbb{C}^n)$ to the solution of the homogenized problem; the error being of order $O(\varepsilon)$.
For a fixed $\tau \in {\mathbb R}$, we obtain an approximation of the solution $\mathbf{u}_\varepsilon(\cdot,\tau)$ 
in the $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$-norm with an error $O( \varepsilon^2)$, and also an approximation of the solution in the  
 $H^1({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$-norm with an error $O(\varepsilon)$. These approximations involve correctors. 
 We find the dependence of the errors on $\tau$.   
  

Key words: 
periodic differential operators, Schr\"{o}dinger-type equations, homogenization, operator error estimates

 
 

 [Full text:
   (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg





         2