Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 02/2022

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРАДУИРОВАННЫХ ГРАФОВ. СЛУЧАЙ НЕРАВНЫХ ЧАСТОТ

This preprint was accepted September 5, 2022

АННОТАЦИЯ:

Определяется класс непрерывных градуированных графов типа схем
Гельфанда-Цетлина и описываются эргодические центральные меры
дискретного типа на пространствах путей таких графов.  Основное
наблюдение состоит в том, что такая мера в случае неравных частот
является ограничениями мер на графе Бернулли (Паскаля) на нужное
подмножество. Это драматически
меняет подход к нахождению центральных мер даже и в классическом
случае дискретных графов таких как граф Юнга.
Простейший пример такого типа  --- слабый предел нормированных мер на
симплексах, так называемые мерв Чезаро, которые концентрируются
множестве рядов, сходящихся по Чезаро и
имеющих данную сумму (частоту). Более сложный пример --- непрерывный
граф таблиц с заданным числом строк и непрерывный граф спектров
бесконечных эрмитовых матриц конечного ранга. Основной результат
---доказательство существования и единственности эргодических
центральных мер с данными (неравными) частотами, и описание структуры
этих мер.
 
Ключевые слова:   
непрерывные градуированные графы, центральные меры,
бернуллиевские меры, коцикл



A. M. Vershik, F. V. Petrov



Central Measures of Continuous Graded Graphs: the Case of Unequal Frequencies




ABSTRACT:


A class of continuous graded graphs of Gelfand--Tsetlin schemes type is defined, and the set of all ergodic central measures of discrete type on the path spaces of such graphs is described. The main observation is that the central ergodic measure on
a subgraph of ``Bernoulli'' graph is often obtained as the restriction
of the standard Bernoulli measure to the path space of the subgraph. It
dramatically changes the approach to finding central measures also
on discrete graphs, like the famous Young graph.

The simplest example of this type is given by the theorem on the weak limit of normalized Lebesgue measures on simplices --- the so called
Cesaro measures, which are concentrated on the sequences
with prescribed Cesaro limits (this limit parametrizes the measures).

More complicated examples are the
graphs of continuous Young tableaux with fixed number of rows,
and the graphs of spectra of infinite Hermitian matrices of finite rank. We prove existence and uniqueness theorems for ergodic central measures and describe their structure.
In particular these results:

1) give a new spectral description of the so called infinite-dimensional
Wishart measures \cite{W} --- ergodic unitary invariant measures of discrete type
on the set of infinite Hermitian matrices;

2) describe the structure of continuous analogues
of measures on discrete graded graphs.

New problems and connections which appear are to be considered
in new publications.
  
  

Key words: 
continuous graded graphs, central measures, Bernoulli measures, cocicles

 
 

 [Full text:
   (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg