Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 06/2022

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ АРТИНА ОБ ИЗОТОПНОСТИ ЗАМКНУТЫХ КОС

This preprint was accepted September 15, 2022

АННОТАЦИЯ:

Подмногообразие расслоенного многообразия называется вертикально-горизонтальным
 (ВГ), если каждая из его компонент либо трансверсальна слоям во всех 
своих точках (вертикальна), либо лежит в слое (горизонтальна). 
Мы доказываем, что в компактном ориентируемом трехмерном многообразии, 
локально тривиально расслоенном над окружностью со слоем компактная поверхность, 
ВГ-зацепления объемлемо изотопны если и только если они изотопны в классе ВГ. 
Иными словами, тождественное вложение пространства ВГ-зацеплений в пространство
 всех зацеплений в расслоенном многообразии указанного вида индуцирует 
инъекцию на уровне $\pi_0$. Это обобщает восходящий к работам Артина 
классический результат о том, что замкнутые косы в полнотории объемлемо 
изотопны если и только если они представляют один и тот же класс сопряженности группы кос.  



Ключевые слова:   
Узел, зацепление, коса, поверхность, трехмерное многообразие, несжимаемая поверхность, гиперболический, расслоение, расслоенное пространство, локально тривиальное расслоение, послойный автогомеоморфизм, группа классов отображений, изотопия, гомотопия, гомотопическая эквивалентность, универсальное накрывающее.



A. MALYUTIN



A GENERALIZATION OF ARTIN'S THEOREM ON ISOTOPIC CLOSED BRAIDS




ABSTRACT:


A submanifold of a fibered manifold is called vertical-horizontal (VH) 
if each of its components is either transversal to the fibers at all its points 
(vertical) or lies in a fiber (horizontal). We prove that two VH-links 
in a compact orientable surface bundle over the circle are ambient isotopic
 if and only if they are isotopic in the VH class. In other words,
 the natural inclusion of the space of VH-links into the space of all links
 in a fibered manifold of the indicated form induces an injection on $\pi_0$. 
─is generalizes the well-known result, dating back to Artin's works, 
that two closed braids in a solid torus are ambient isotopic if and only if 
⌡ey represent the same conjugacy class of the braid group.
 A submanifold of a fibered manifold is called vertical-horizontal (VH) 
if each of its components is either transversal to the fibers at all
 its points (vertical) or lies in a fiber (horizontal). 
We prove that two VH-links in a compact orientable surface bundle over
 the circle are ambient isotopic if and only if they are isotopic in the VH class. 
This generalizes the well-known result, dating back to Artin's works, 
that two closed braids in a solid torus are ambient isotopic if and only if 
they represent the same conjugacy class of the braid group.
  
  

Key words: 
Knot, link, braid, surface, 3-manifold, incompressible surface, hyperbolic, fiber bundle, fibering, fiber-preserving, fiberwise, mapping class group, isotopy, homotopy, homotopy equivalence, universal covering.

 
 

 [Full text:
   (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg