Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 02/2023

ОПЕРАТОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИ УСРЕДНЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

This preprint was accepted January 29, 2023

ABSTRACT:

В  $L_2(\R^d;\C^n)$ изучается сильно эллиптический самосопряженный 
дифференциальный оператор ${\mathcal A}_\eps$ порядка $2p$  
с периодическими коэффициентами, зависящими от $\x/\eps$. 
Получена аппроксимация резольвенты $( {\mathcal A}_\eps+I)^{-1}$ 
по операторной норме в $L_2(\R^d;\C^n)$:
$$
( {\mathcal A}_\eps+I)^{-1} = ( {\mathcal A}^0+I)^{-1} + \sum_{j=1}^{2p-1}
\eps^{j} {\mathcal K}_{j,\eps} + O(\eps^{2p}).
$$
Здесь ${\mathcal A}^0$ --- эффективный оператор с постоянными
коэффициентами, а операторы ${\mathcal K}_{j,\eps}$,
\hbox{$j=1,\dots,2p-1,$} --- подходящие корректоры.

 Key words:  
периодические дифференциальные операторы, теория усреднения, 
операторные оценки погрешности, эффективный оператор, корректоры.



 V. A. Sloushch, T. A. Suslina



Operator estimates for homogenization
 of higher-order elliptic operators with  periodic coefficients



АННОТАЦИЯ:

In $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, we study  a selfadjoint strongly elliptic differential operator 
 $\mathcal{A}_\varepsilon$ of order $2p$ with periodic coefficients depending on 
 $\mathbf{x}/\varepsilon$. We obtain the following approximation 
for the resolvent  $( {\mathcal A}_\varepsilon+I)^{-1}$ 
in the operator norm on  $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$:
$$
( {\mathcal A}_\varepsilon+I)^{-1} = ( {\mathcal A}^0+I)^{-1} + \sum_{j=1}^{2p-1}
\varepsilon^{j} {\mathcal K}_{j,\varepsilon} + O(\varepsilon^{2p}).
$$
Here ${\mathcal A}^0$ is the effective operator with constant coefficients and 
 ${\mathcal K}_{j,\varepsilon}$,
\hbox{$j=1,\dots,2p-1,$} are suitable correctors.  
  
  

Ключевые слова: 
periodic differential operators, homogenization, operator error estimates,
 effective operator, correctors.

 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg