Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 03/2023

ДИНАМИКА МЕТРИК В ПРОСТРАНСТВАХ С МЕРОЙ И МАСШТАБИРОВАННАЯ ЭНТРОПИЯ

This preprint was accepted March 30, 2023

ABSTRACT:

Настоящий обзор посвящен новому направлению в теории динамических систем 
и смежным вопросам. Главной темой является динамика метрик на пространствах 
с мерой. Сама по себе идея систематического совместного рассмотрения мер и 
метрик не нова, но новый взгляд на нее высказал М. Громов в книге \cite{Gro}, 
введя так называемые $mm$-пространства (метрические пространства с мерой); 
обе компоненты (мера и метрика) равноправны и вводятся одновременно, 
в отличие от классической точки зрения, при которой сначала фиксируется метрика, 
а борелевская мера может меняться. Как следствие, признается плодотворность противоположного 
подхода, при котором мера в пространстве фиксирована, а метрика может меняться.
 Эта точка зрения была высказана в книге М. Громова \cite{Gro} и независимо 
в работах А. Вершика \cite{V02mp,V10a}, где она интенсивно использовалась 
в теории преобразований с инвариантной мерой (т.\,е. в эргодической теории).

 Первая глава обзора представляет собой краткое введение в предмет и может считаться 
конспектом всего обзора. Во второй главе подробно излагается теория 
``метрических троек'' (пространство--мера--метрика), --- это понятие уточняет 
понятие  mm-пространства Громова и представляет самостоятельный интерес. 
Особое внимание уделяется понятию энтропии метрической тройки, которое по существу принадлежит
 К. Шеннону. Именно такое истолкование энтропии
привело к новому понятию {\it масштабированной энтропии преобразования 
или группы преобразований, сохраняющих меру}, которое было введено А. Вершиком 
и развито в работах авторов. Оно подробно рассмотрено в третьей главе. 
В его численном определении используется метрика, но окончательный результат от
 метрики не зависит и поэтому оно дает новый класс инвариантов в эргодической 
теории, расщепляя класс автоморфизмов с нулевой колмогоровской энтропией. 
В приложении А приводятся детали некоторых доказательств. 
Последнее приложение В посвящено нерешенным задачам.

Окончательная терминология в обсуждаемой области лишь складывается. 
Термин М. Громова $mm$-пространства для пространств с мерой и метрикой не предполагал 
точного определения согласования структур. С другой стороны, название точно 
определенного и введенного в \cite{VPZ13a} термина ``допустимая тройка'' 
тем более, что эпитет ``метрический'' в русской литературе применяется
--- недостаточно выразительно. В этой статье мы используем оба термина, 
имея в виду второй --- точное его понимание. В дальнейшем предлагается использовать 
термин ``метрическая тройка'',
как к мерам, так и к метрикам.


 Key words:  метрическая тройка, классификация, матричное распределение, 
метрический инвариант, масштабированная энтропия
 


A. M. Vershik, G. A. Veprev, P. B. Zatitskii 



 Dynamics of metrics in measure spaces and scaling entropy



АННОТАЦИЯ:

The review is devoted to the theory of metric triples 
(space--measure--metric) and its applications to ergodic theory.
Particular attention is paid to the notion of entropy of a metric triple, 
which is essentially due to C. Shannon.
This interpretation of entropy led to the new concept of the scaled 
entropy of a measure-preserving transformation or group of transformations, 
which was introduced by A. Vershik and developed by other authors. 
Its definition uses a metric, but the final result does not depend on the choice
 of metric, and therefore provides a new invariant in ergodic theory 
that turns to be efficient for the class of automorphisms with zero Kolmogorov entropy.
  
  

Ключевые слова:    metric triple, classification, matrix distribution, metric invariant, scaling entropy
 
 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg