Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 05/2023

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В АБСТРАКТНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С ГРАНИЧНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

This preprint was accepted Jule 8, 2023

ABSTRACT:

Пусть $L_0$ есть положительно-определенный оператор в гильбертовом
пространстве $\mathscr H$ с индексами дефекта $n_\pm\geqslant 1$ и
пусть $\{{\rm Ker\,}L^*_0;\Gamma_1,\Gamma_2\}$ есть его
каноническая (по М.И.Вишику) граничная тройка. В работе
рассматривается эволюционная динамическая система
\begin{align*}
& u_{tt}+{L_0^*} u=0 &&\text{in}\,\,{\mathscr H},\,\,\,t>0;\\
& u\big|_{t=0}=u_t\big|_{t=0}=0 && {\rm in}\,\,{\mathscr H};\\
& \Gamma_1 u=f(t), && t\geqslant 0,
\end{align*}
в которой $f$ есть граничное управление (${\rm
Ker\,}L^*_0$-значная функция времени), $u=u^f(t)$ -- траектория.
Изучаются некоторые общие свойства таких систем. Найден
абстрактный аналог принципа конечности скорости распространения
волн.


 Key words:  
симметрический
полуограниченный оператор, граничная тройка Вишика, динамическая
система с граничным управлением, конечность скорости
распространения волн.


M. I. Belishev



Wave propagation in abstract dynamical system with boundary control



АННОТАЦИЯ:

Let $L_0$ be a positive definite ope\-ra\-tor in a Hilbert space
$\mathscr H$ with the defect indexes $n_\pm\geqslant 1$ and let
$\{{\rm Ker\,}L^*_0;\Gamma_1,\Gamma_2\}$ be its canonical (by
M.I.Vishik) boundary triple. The paper deals with an evolutionary
dynamical system of the form
\begin{align*}
& u_{tt}+{L_0^*} u=0 &&\text{in}\,\,{\mathscr H},\,\,\,t>0;\\
& u\big|_{t=0}=u_t\big|_{t=0}=0 && {\rm in}\,\,{\mathscr H};\\
& \Gamma_1 u=f(t), && t\geqslant 0,
\end{align*}
where $f$ is a boundary control (a ${\rm Ker\,}L^*_0$-valued
function of time), $u=u^f(t)$ is a trajectory.  Some of the
general properties of such systems are considered. An abstract
analog of the finiteness principle of wave propagation speed is
revealed.
  
  

Ключевые слова: 
symmetric semi-bounded operator,
Vishik boundary triple, dynamic system with boundary control,
finiteness of wave propagation speed

 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg