Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 07/2023

УСРЕДНЕНИЕ НЕЛОКАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЁРТОЧНОГО ТИПА: АППРОКСИМАЦИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ С КОРРЕКТОРОМ

This preprint was accepted November 18, 2023

ABSTRACT:

В $L_2(\R^d)$ рассматривается самосопряженный ограниченный оператор
${\mathbb A}_\eps$, $\eps >0$, вида
$$
({\mathbb A}_\eps u) (\x) = \eps^{-d-2} \int_{\R^d} a((\x-\y)/\eps) \mu(\x/\eps, \y/\eps)
 \left( u(\x) - u(\y) \right)\,d\y.
$$
Предполагается, что $a(\x)$ --- неотрицательная функция класса $L_1(\R^d)$, такая что \hbox{$a(-\x)=a(\x)$},
  а $\mu(\x,\y)$ --- функция, $\Z^d$-периодическая по каждой переменной, причем 
$\mu(\x,\y) = \mu(\y,\x)$ и $0< \mu_- \leqslant \mu(\x,\y) \leqslant \mu_+< \infty$. 
Кроме того, предполагается, что
конечны моменты $M_k = \int_{\R^d} |\x|^k a(\x)\,d\x$, $k=1,2,3,4$.
Получена аппроксимация резольвенты $({\mathbb A}_\eps + I)^{-1}$ при малом $\eps$ 
по операторной норме в $L_2(\R^d)$ с оценкой погрешности порядка $O(\eps^2)$.

 Key words:  
нелокальные операторы свёрточного типа,
периодическое усреднение, операторные оценки погрешности, эффективный оператор, корректор.




 E. A. Zhizhina, A. L. Piatnitski, V. A. Sloushch, T. A. Suslina



Homogenization of nonlocal convolution type operators:
Approximation for the resolvent with corrector



АННОТАЦИЯ:

In $L_2(\mathbb{R}^d)$, we consider a selfadjoint bounded operator
${\mathbb A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, of the form 
$$
({\mathbb A}_\varepsilon u) (\mathbf{x}) = \varepsilon^{-d-2} \int_{\mathbb{R}^d} 
a((\mathbf{x} - \mathbf{y} )/ \varepsilon ) \mu(\mathbf{x} /\varepsilon, \mathbf{y} /\varepsilon) 
\left( u(\mathbf{x}) - u(\mathbf{y}) \right)\, d\mathbf{y}.
$$
It is assumed that  $a(\mathbf{x})$ is a nonnegative function of class  $L_1(\mathbb{R}^d)$ such that  
\hbox{$a(-\mathbf{x}) = a(\mathbf{x})$} and $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})$ is $\mathbb{Z}^d$-periodic
 in each variable and such that  
$\mu(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mu(\mathbf{y},\mathbf{x})$ and $0< \mu_- \leqslant \mu(\mathbf{x},\mathbf{y}) 
\leqslant \mu_+< \infty$. Moreover, it is assumed that 
the moments $M_k (a)= \int_{\mathbb{R}^d} | \mathbf{x} |^k a(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$, $k=1,2,3,4,$ are finite.
We obtain approximation of the resolvent  $({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1}$ for small $\varepsilon$ 
in the operator norm on  $L_2(\mathbb{R}^d)$ with error of order  $O(\varepsilon^2)$.
  
  

Ключевые слова: 
nonlocal convolution type operators, periodic homogenization, operator estimates, effective operator, corrector
 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg