Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 08/2023

ТОЖДЕСТВА ДЛЯ МЕР ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

This preprint was accepted November 22, 2023

АННОТАЦИЯ:

 В статье изучаются интегральные соотношения (тождества для отклонений), которые
характеризуют расстояние между точным решением нелинейной вариационной задачи и
функцией, которая является  аппроксимацией этого решения. Условия, накладываемые
на эту функцию минимальны и в сущности сводятся к требованию того, что она принадлежит
тому же (энергетическому) функциональному классу, что о само обобщенное решение.
Полученные функциональные тождества отражают наиболее общие связи,
которые существуют между мерами отклонения от точного решения и теми данными,
которые доступны в численных экспериментах. Тождества не содержат констант, связанных
со способом дискретизации (например со структурой сетки) и верны для любых приближенных
решений независимо от способа их получения. Они служат основой для получения полностью
вычисляемых и гарантированных апостериорных оценок точности аппроксимаций а также
позволяют анализировать ошибки математических моделей. Соответствующие 
примеры обсуждаются в заключительной части статьи.
 
Ключевые слова:   
 уравнения параболического типа, монотонные операторы, апостериорные тождества
и оценки функционального типа.



S. I. Repin



Error identities for parabolic equations with monotone spatial operators




ABSTRACT:


The article studies integral relations (error identities)that characterisedistances 
between exact solutions of  nonlinear evolutionary problems and functions 
considered as approximations.The restrictions imposed on such a function are minimal 
and actually come down to the condition that it belongs tothe same functional class 
as the generalized solution of the problem under consideration.  Functional identities 
of this type reflect the most generalrelations between deviations from exact solutions 
of parabolic initial boundary valueproblemsand those datathat can be observed 
in a numerical experiment.The identities  contain no mesh dependent constants 
and are valid for any function in the admissible (energy) class regardless of the method 
by which it was constructed. Therefore, they can serve as basic tools  for deriving 
fully reliablea posteriori estimates of  approximation errorsas well as for analysis 
of modeling errors. The corresponding examplesare discussed in the paper.  
  

Key words: 
parabolic equations, monotone operators, a posteriorierror identities, 
a posteriori estimates of the functional type

 
 

 [Full text:
   (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg