Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 06/2024

ОПЕРАТОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИ УСРЕДНЕНИИ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ЛЕВИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

This preprint was accepted June 10, 2024

АННОТАЦИЯ:

В $L_2(\R^d)$ рассматривается самосопряженный оператор${\mathbb A}_\eps$, $\eps >0$, 
вида
$$
({\mathbb A}_\eps u) (\x) =  \int_{\R^d} \mu(\x/\eps, \y/\eps) \frac{\left( u(\x) - u(\y) \right)}
{|\x - \y|^{d+\alpha}}\,d\y,
$$
где $0< \alpha < 2$. Предполагается, что $\mu(\x,\y)$ -- функция, $\Z^d$-периодическая по каждой переменной, 
причем $\mu(\x,\y) = \mu(\y,\x)$ и $0< \mu_- \leqslant \mu(\x,\y) \leqslant \mu_+< \infty$.
Строгое определение оператора ${\mathbb A}_\eps$ дается через соответствующую замкнутую квадратичную форму,
 заданную на классе Соболева $H^{\alpha/2}(\R^d)$.Показано, что резольвента $({\mathbb A}_\eps + I)^{-1}$ 
сходится к резольвенте $({\mathbb A}^0 + I)^{-1}$при $\eps\to 0$ по операторной норме в $L_2(\R^d)$. 
Здесь ${\mathbb A}^0$ --- эффективный оператор,заданный тем же выражением с коэффициентом $\mu^0$, 
равным среднему значению функции $\mu(\x,\y)$.Получена оценка нормы разности резольвент 
$({\mathbb A}_\eps + I)^{-1} - (\A^0 + I)^{-1}$порядка $O(\eps^\alpha)$ 
при $0< \alpha < 1$, $O(\eps (1 + | \operatorname{ln} \eps|)^2)$ при $ \alpha =1$ и$O(\eps^{2- \alpha})$ 
при $1< \alpha < 2$.

Ключевые слова: 
операторы типа Леви,периодическое усреднение, операторные оценки погрешности, эффективный оператор.
 



 E. A. Zhizhina, A. L. Piatnitski, V. A. Sloushch, T. A. Suslina



Operator estimates for homogenization of the L$\acute{\textrm{e}}$vy-type operators
 with periodic coefficients



ABSTRACT:

In $L_2(\mathbb{R}^d)$, we consider a selfadjoint operator
${\mathbb A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, of the form 
$$
({\mathbb A}_\varepsilon u) (\mathbf{x}) =  \int_{\mathbb{R}^d} 
 \mu(\mathbf{x} /\varepsilon, \mathbf{y} /\varepsilon)\frac{ \left( u(\mathbf{x}) - u(\mathbf{y}) \right)}{|\mathbf{x}  -\mathbf{y}|^{d+\alpha}}\, d\mathbf{y},
$$
where $0< \alpha < 2$.
It is assumed that  the function $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})$ is 
$\mathbb{Z}^d$-periodic in each variable and such that  
$\mu(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mu(\mathbf{y},\mathbf{x})$ and $0< \mu_- \leqslant \mu(\mathbf{x},\mathbf{y}) 
\leqslant \mu_+< \infty$. The precise definition of the operator ${\mathbb A}_\varepsilon$ is given 
in terms of the corresponding closed quadratic form defined on the Sobolev class $H^{\alpha/2}(\mathbb{R}^d)$.
It is shown that the resolvent 
$({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1}$ converges in the operator norm on $L_2(\mathbb{R}^d)$ 
to the resolvent $({\mathbb A}^0 + I)^{-1}$, as $\varepsilon \to 0$. 
Here ${\mathbb A}^0$ is the effective operator given by the same expression with the coefficient $\mu^0$
equal to the mean value of the function $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})$. We obtain an estimate for the norm 
of the difference $({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1} - ({\mathbb A}^0 + I)^{-1}$
of order $O(\varepsilon^\alpha)$ for $0< \alpha < 1$, $O(\varepsilon (1 + | \operatorname{ln} \varepsilon|)^2)$ 
for $ \alpha =1$, and $O(\varepsilon^{2- \alpha})$ for $1< \alpha < 2$.
 
  
  

 Key words:  
L$\acute{e}$vy-type operators, periodic homogenization, operator estimates, effective operator

 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg