Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 07/2024

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ ВАТСОНА И НЕКОТОРЫХ ЕГО СВОЙСТВАХ

This preprint was accepted August 14, 2024

АННОТАЦИЯ:
В данной работе изучается конечная тригонометрическая сумма $\sum a_l\csc\big(\pi l/n\big)\,,$ 
где коэффициенты $a_l$ суть $\cos(2\pi l \nu/n)$, а индекс суммирования l, также как и дискретный параметр nu, 
пробегают значения от 1 до n-1. Эта сумма встречается в различных задачах, и играет особую роль в задаче,
 связанной с тригонометрической суммой Полиа-Виноградова. Формально, сумма $\sum a_l\csc\big(\pi l/n\big)$ 
также является так называемой суммой Даукера порядка одна вторая. В статье получен ряд новых представлений 
для рассматриваемой суммы, изучены её основные свойства, выведены её разложения, в том числе асимптотическое, 
а также получены её оценки сверху и снизу, которые при $n\to\infty$ равномерно сходятся к ней. 
Дополнительно получены две приближённые формулы, содержащие всего несколько членов, позволяющие быстро и 
точно вычислить эту сумму для больших значений n. Кроме этого, выведен ряд необычных формул суммирования
 для дигамма функции, включающих изучаемую сумму, логарифм гамма функции, а также произведение 
$\,\prod\big(\csc(\pi l/n)\big)^{\csc(\pi l/n)}$.}}

 

Ключевые слова:  
конечная тригонометрическая сумма; косекансы; сумма Ватсона; сумма Даукера; 
сумма Виноградова; асимптотическое разложение; асимптотическое представление; 
дигамма функция; оценка; асимптотическая оценка, приближение.



Ia. V. Blagouchine



On a generalization of Watson's trigonometric sum, some of its properties and its 
relationship to Dowker's sum (the revised, enlarged and translated in Russian version 
24-07.htmlof the arXiv preprint arXiv:2407.19223v2)



ABSTRACT

In this paper we study the finite trigonometric sum $\sum a_l\csc\big(\pi l/n\big)\,,$ 
where the coefficients $a_l$ are equal to $\cos(2\pi l \nu/n)$ and where the summation index l 
and the discrete parameter nu both run through 1 to n-1. This sum occurs in various problems 
in mathematics, physics and engineering, and plays an important part in some number-theoretic 
problems related to the P?lya-Vinogradov sum. Formally, the first of these sums is also the 
so-called Dowker sum of order one half. In the paper, we obtain several integral and series 
representations for the above-mentioned finite sum, investigate their properties, derive various, 
including asymptotical, expansions for them and deduce very accurate upper and lower bounds for it 
(both bounds are asymptotically vanishing). In addition, we obtain two useful approximate formulae 
containing only a few terms, which are also very accurate and can be particularly appreciated 
in applications. Finally, we also derive several advanced summation formulae for the gamma and 
the digamma functions, in which the first on these sums, as well as the product of a sequence of 
cosecants $\,\prod\big(\csc(\pi l/n)\big)^{\csc(\pi l/n)}$, play an important role.
 
  
  

Key words: 
finite trigonometric sums; cosecant sums; Watson's sum; Dowker's sum; Vinogradov sum, 
asymptotic expansions; asymptotic representation; digamma function; psi function, bounds;
 asymptotic estimates; approximations
 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg