Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 01/2025

ТЕОРЕТИКО-ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К УСРЕДНЕНИЮ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: ОПЕРАТОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИ УЧЕТЕ КОРРЕКТОРОВ

This preprint was accepted May 14, 2025

АННОТАЦИЯ:

В $L_2(\R^d;\C^n)$ рассматривается самосопряженный сильно эллиптический дифференциальный	 
оператор $\A_\eps$ второго порядка. 
Предполагается, что коэффициенты оператора $\A_\eps$ периодичны и зависят от $\x/\eps$, 
где \hbox{$\eps >0$}. Изучается поведение операторов  $\cos ( \A_\eps^{1/2}\tau)$ 
и $\A_\eps^{-1/2}\sin ( \A_\eps^{1/2}\tau)$ при малом $\eps$ и $\tau \in \R$. 
Результаты применяются к усреднению  решений задачи Коши для гиперболического уравнения 
$\partial_\tau^2 \u_\eps = - \A_\eps \u_\eps$ с начальными данными из специального класса.
При фиксированном $\tau$ и $\eps \to 0$ решение сходится в $L_2(\R^d;\C^n)$ к решению
 усредненной задачи; погрешность имеет порядок $O(\eps)$.  
При фиксированном $\tau$ получена аппроксимация решения $\u_\eps(\cdot,\tau)$ 
по норме в $L_2(\R^d;\C^n)$ с погрешностью $O(\eps^2)$, а также аппроксимация решения 
по норме в пространстве Соболева $H^1(\R^d;\C^n)$ с погрешностью $O(\eps)$. 
В этих аппроксимациях учитываются корректоры. Отслежена зависимость погрешностей 
от параметра $\tau$.



Ключевые слова: 
периодические дифференциальные операторы, гиперболические уравнения, теория усреднения,
 операторные оценки погрешности
 



 M. A. Dorodnyi, T. A. Suslina



Operator-theoretic approach to homogenization of hyperbolic equations:  
operator estimates with correctors taken into account 



ABSTRACT:

In $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, we consider a selfadjoint strongly elliptic second-order 
differential operator $\mathcal{A}_\varepsilon$. It is assumed that the coefficients 
of the operator $\mathcal{A}_\varepsilon$ are periodic and depend on $\mathbf{x} / \varepsilon$,  
where $\varepsilon >0$. We study the behavior of the operators   
$\cos ( \mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ and 
$\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin ( \mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ for small $\varepsilon$ and  
$\tau \in \mathbb{R}$. The results are applied to homogenization of the solutions 
of the Cauchy problem for the hyperbolic equation 
$\partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = - \mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon$ 
with the initial data from a special class. It is shown that, for a fixed $\tau$ 
and $\varepsilon \to 0$, the solution converges in  
$L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ to the solution of the homogenized problem; 
the error is of order $O(\varepsilon)$.  For a fixed $\tau$, we obtain approximation of the solution 
$\mathbf{u}_\varepsilon(\cdot,\tau)$ in $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ with an error 
$O( \varepsilon^2)$, and also approximation of the solution in the Sobolev space 
$H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ with an error $O(\varepsilon)$. In these approximations, 
correctors are taken into account. The dependence of the errors on the parameter $\tau$ is tracked.

 
  
  

 Key words:  
periodic differential operators, hyperbolic equations, homogenization, operator error estimates

 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg