Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 06/2025

УСРЕДНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ЛЕВИ: ОПЕРАТОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИ УЧЕТЕ КОРРЕКТОРОВ

This preprint was accepted March 18, 2025

АННОТАЦИЯ:

В $L_2(\R^d)$ рассматривается самосопряженный оператор${\mathbb A}_\eps$, $\eps >0$, 
вида
$$({\mathbb A}_\eps u) (\x) =  \int_{\R^d} \mu(\x/\eps, \y/\eps) \frac{\left( u(\x) - u(\y) \right)}{|\x 
- \y|^{d+\alpha}}\,d\y,
$$
где $1< \alpha < 2$. Здесь $\mu(\x,\y)$ --- функция, $\Z^d$-периодическая по каждой переменной, 
причем $\mu(\x,\y) = \mu(\y,\x)$ и $0< \mu_- \leqslant \mu(\x,\y) \leqslant \mu_+< \infty$.
Строгое определение оператора ${\mathbb A}_\eps$ дается через квадратичную форму.
В работе авторов (2024)  показано, что резольвента $({\mathbb A}_\eps + I)^{-1}$ сходится 
к резольвенте $({\mathbb A}^0 + I)^{-1}$при $\eps\to 0$ по операторной норме в $L_2(\R^d)$. 
Здесь ${\mathbb A}^0$ --- эффективный оператор,заданный тем же выражением с коэффициентом $\mu^0$, 
равным среднему значению функции $\mu(\x,\y)$. При этом  
$\|({\mathbb A}_\eps + I)^{-1} - (\A^0 + I)^{-1} \| = O(\eps^{2-\alpha})$. 
Мы получаем более точную аппроксимацию при учете корректоров: при $2-1/N < \alpha \le 2-1/(N+1)$
$$
\bigl\|({\mathbb A}_\eps + I)^{-1} - (\A^0 + I)^{-1} - \sum_{m=1}^N \eps^{m(2-\alpha)} \mathbb{K}_m \bigr\|
 = O(\eps).
$$


Ключевые слова: 
операторы типа Леви,периодическое усреднение, операторные оценки погрешности, 
эффективный оператор, корректоры. 



 E. A. Zhizhina, A. L. Piatnitski, V. A. Sloushch, T. A. Suslina



Homogenization of periodic L$\acute{e}$vy-type  operators: 
operator estimates with correctors taken into account  



ABSTRACT:

In $L_2({\mathbb R}^d)$, we consider a selfadjoint  operator 
${\mathbb A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, given by 
$$
({\mathbb A}_\varepsilon u) (\mathbf{x}) =  \int_{\mathbb{R}^d} \mu( \mathbf{x}/ \varepsilon,  \mathbf{y} / \varepsilon) \frac{\left( u(\mathbf{x}) - u(\mathbf{y}) \right)}{| \mathbf{x} - \mathbf{y} |^{d+\alpha}}\,d \mathbf{y},
$$
where $1< \alpha < 2$. It is assumed that $\mu(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ is $\mathbb{Z}^d$-periodic in each variable and such that 
$\mu( \mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mu( \mathbf{y}, \mathbf{x})$ and $0< \mu_- \leqslant 
\mu(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \leqslant \mu_+< \infty$.
The precise definition of the operator ${\mathbb A}_\varepsilon$ is given in terms of the quadratic form.
In the authors' work (2024) it was shown that that the resolvent $({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1}$ 
converges to the resolvent  $({\mathbb A}^0 + I)^{-1}$ in the operator norm on $L_2(\mathbb{R}^d)$, as 
$\varepsilon \to 0$. Here 
${\mathbb A}^0$ is the effective operator of the same form with the coefficient $\mu^0$ equal to the mean value of the function $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})$. 
The following estimate holds:  $\|({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1} - ({\mathbb A}^0 + I)^{-1} \| = 
O(\varepsilon^{2-\alpha})$. 
We obtain more accurate approximation taking correctors into account: for $2-1/N < \alpha \le 2-1/(N+1)$
we have
$$
\bigl\|({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1} - (\mathbb{A}^0 + I)^{-1} - \sum_{m=1}^N \varepsilon^{m(2-\alpha)} \mathbb{K}_m \bigr\| = O(\varepsilon).
$$
 
  
  

 Key words:  
 L$\acute{e}$vy-type operators, 
periodic  homogenization, operator error estimates, effective operator, correctors.

 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg