Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 09/2025

О ГИПОТЕЗЕ ГРОТЕНДИКА-СЕРРА ДЛЯ СЛУЧАЯ СПИНОРНЫХ НОРМ

This preprint was accepted August  19, 2025

АННОТАЦИЯ:

Рассматривается $X$ --- гладкая неприводимая относительная кривая над кольцом 
дискретного нормирования с бесконечным полем вычетов характеристики $p\neq 2$. 
Предполагается, что для $X$ выполнена относительная лемма Нётер о нормализации. 
В эти предположениях доказывается гипотеза Гротендика-Серра о главных $G$-расслоениях 
над $X$, где $G$~--- спинорная группа. 

Два слова о методе. Он восходит к работам Воеводского. Для каждой точки $x\in X$ и 
соответствующей локальной подсхемы $U$ в  $X$, и каждого замкнутого $Z$ в $X$, 
не равного $X$, мы <<вытесняем>> $U$ в дополнение к $Z$. Для этого строим подходящую 
многозначную $\mathbb{A}^1$-гомотопию. Её наличие и доказывает наш результат. 

Ключевые слова: 
спинорная норма, спинорная группа, главные $G$-расслоения, относительные кривые


G. M. Sharafetdinova
 



On the Grothendieck--Serre conjecture in the case of spinor norm



ABSTRACT:

We consider a smooth irreducible relative curve $X$ over a discrete valuation ring 
with infinite residue field of characteristic $p\neq 2$. We assume that Noether 
relative normalisation lemma's statement is fulfilled for $X$. 
In this setting we prove the Grothendieck-Serre conjecture about principal 
$G$-bundles over $X$, where $G$ is a spinor group.

Two words about the method. It goes back to the works of Voevodsky. 
For each point $x\in X$ and the corresponding local subscheme $U$ in $X$, 
and for each closed $Z$ in $X$ that is not equal to $X$, we ``move'' $U$ into the complement 
of $Z$. To do this, we construct a suitable multivalued $\mathbb{A}^1$-homotopy. 
It's presence proves our result.
  

 Key words:  
spinor norm, spinor group, principal $G$-bundles, relative curves 


 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg