Санкт-Петербургское отвеление Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 13/2025

О ЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЯХ С КОСОСИММЕТРИЧНЫМ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ

This preprint was accepted December 9, 2025

АННОТАЦИЯ:

Изучаются обобщённые решения эволюционных уравнений, 
ассоциированных с плотноопределённым кососимметричным 
оператором в вещественном гильбертовом пространстве. 
Установлено существование сжимающей полугруппы, траектории 
которой являются обобщёнными решениями, и найдены критерии 
единственности обобщённых решений. Приведены приложения 
к некоторым уравнениям математической физики, включающих 
уравнения переноса и линеаризованные уравнения Эйлера 
в случае соленоидальных (и, в общем случае, разрывных) 
коэффициентов. При дополнительных условиях регулярности 
коэффициентов доказана кососопряжённость соответствующих 
пространственных операторов, откуда следует существование 
и единственность обобщённых решений как прямой, 
так и обратной задачи Коши.


Ключевые слова: 
кососимметричные операторы, эволюционные уравнения, задача Коши,
 обобщённые решения, энергетическое неравенство, уравнения переноса, 
линеаризованные уравнения Эйлера.


E. Yu. Panov



On linear evolutionary equations with a skew symmetric spatial operator



ABSTRACT:

We study generalized solutions of an evolutionary equation 
related to a densely defined skew-symmetric operator 
in a real Hilbert space. We establish existence of a contractive semigroup, 
whose trajectories are generalized solutions, and find criteria 
of uniqueness of generalized solutions. Applications are given 
to some equations of mathematical physics, including the transport equations
 and the linearized Euler equations with solenoidal
 (and generally discontinuous) coefficients. Under some additional 
regularity assumption on the coefficients we prove that the corresponding 
spatial operators are skew-adjoint, which implies existence and uniqueness 
of generalized solutions for both the forward and the backward Cauchy problem.

  

 Key words:  
skew-symmetric operators, evolutionary equations, Cauchy problem, 
generalized solutions, energy inequality, transport equations, 
linearized Euler equations.

 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg