Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 06/2026

ОПЕРАТОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПРИ УСРЕДНЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СВЁРТОЧНОГО ТИПА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

This preprint was accepted May  4, 2026

АННОТАЦИЯ:

 
Пусть  $u_\varepsilon(\mathbf{x},t)$, $\mathbf{x} \in {\mathbb R}^d$, 
$t \in [0,\infty)$, $\varepsilon >0$, --- решение задачи Коши для 
параболического уравнения с нелокальным оператором свёрточного типа:
\begin{equation*}
\frac{\partial u_\varepsilon(\mathbf{x},t)}{\partial t} = 
\varepsilon^{-d-2}\int_{\mathbb{R}^{d}} a( (\mathbf{x} - \mathbf{y})/\varepsilon)
\mu(\mathbf{x}/\varepsilon, \mathbf{y}/\varepsilon, t/\varepsilon^2)(u_\varepsilon(\mathbf{y},t)-
u_\varepsilon(\mathbf{x},t))\,d\mathbf{y},
\quad 
u_\varepsilon(\mathbf{x},0) = \varphi(\mathbf{x}).
\end{equation*}
Здесь  $\varphi \in L_{2}(\mathbb{R}^{d})$.
Предполагается, что $a(\x) = a(-\x) \ge 0$, причем 
$0< \int_{\R^d} (1+ |\x|^3) a(\x)\,d\x < \infty$,  а функция 
$\mu \in L_\infty(\R^{2d}\times \R_+)$ 
симметрична:  $\mu(\x,\y,t)= \mu(\y,\x,t)$, положительно определена и периодична по всем переменным.
 Мы показываем, что при фиксированном $t>0$ и $\eps \to 0$ решение $u_\eps(\cdot,t)$  сходится 
 в $L_2(\R^d)$ к решению $u_0(\cdot,t)$ усредненной задачи
 \begin{equation*}
\frac{\partial u_0(\mathbf{x},t)}{\partial t} = 
 \operatorname{div} g^0 \nabla  u_0(\mathbf{x},t),
\quad
u_0(\mathbf{x},0) = \varphi(\mathbf{x}).
\end{equation*}
Здесь $g^0$ --- положительная эффективная матрица.
Получена оценка погрешности
$$
\bigl\| u_\varepsilon(\cdot, t) - u_0(\cdot,t)  \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}
 \leqslant  \frac{C \varepsilon}{(t+ \varepsilon^2)^{1/2}} \| \varphi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}, 
\quad t \ge 0,\ \eps >0.
$$

 
Ключевые слова: 
нелокальные операторы свёрточного типа,
периодическое усреднение, неавтономное параболическое уравнение,
операторные оценки погрешности, эффективный оператор.




E. A. Zhizhina, A. L. Piatnitski, V. A. Sloushch, T.  A. Suslina



 Operator estimates for homogenization of a parabolic convolution-type equation 
with periodic coefficients  
 



ABSTRACT:

  Let $u_\varepsilon(\mathbf{x},t)$, $\mathbf{x} \in {\mathbb R}^d$, 
$t \in [0,\infty)$, $\varepsilon >0$, be a solution of the Cauchy problem 
for a parabolic equation with nonlocal convolution-type operator:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{\partial u_\varepsilon(\mathbf{x},t)}{\partial t} &= 
\varepsilon^{-d-2}\int_{\mathbb{R}^{d}} a( (\mathbf{x} - \mathbf{y})/\varepsilon)
\mu(\mathbf{x}/\varepsilon, \mathbf{y}/\varepsilon, t/\varepsilon^2)(u_\varepsilon(\mathbf{y},t)-
u_\varepsilon(\mathbf{x},t))\,d\mathbf{y},
\\
u_\varepsilon(\mathbf{x},0) &= \varphi(\mathbf{x}).
\end{aligned}
\end{equation*}
Here  $\varphi \in L_{2}(\mathbb{R}^{d})$.
It is assumed that $a(\mathbf{x}) = a(- \mathbf{x}) \geqslant 0$ and 
$$
0< \int_{\mathbb{R}^d} (1+ | \mathbf{x}|^3) a(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} < \infty.
$$ 
We also assume that a function 
$\mu \in L_\infty(\mathbb{R}^{2d}\times \mathbb{R}_+)$ 
is symmetric:  $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y},t)= \mu(\mathbf{y},\mathbf{x},t)$,  positive definite and periodic in all variables.
 It is shown that for a fixed $t>0$ and $\varepsilon \to 0$ the solution $u_\varepsilon(\cdot,t)$ converges in $L_2(\mathbb{R}^d)$ to the solution  $u_0(\cdot,t)$ of the homogenized problem 
 \begin{equation*}
\frac{\partial u_0(\mathbf{x},t)}{\partial t} = 
 \operatorname{div} g^0 \nabla  u_0(\mathbf{x},t),
\quad
u_0(\mathbf{x},0) = \varphi(\mathbf{x}).
\end{equation*}
Here $g^0$ is a positive effective matrix. We obtain the following estimate:
$$
\bigl\| u_\varepsilon(\cdot, t) - u_0(\cdot,t)  \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant  \frac{C \varepsilon}{(t+ \varepsilon^2)^{1/2}} \| \varphi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}, 
\quad t \geqslant 0,\ \varepsilon >0.
$$
 
  

 Key words:  
 nonlocal convolution-type operators, 
periodic  homogenization, non-autonomous parabolic equation,
 operator error estimates, effective operator.
 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg