Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 08/2026

Об устойчивости оптимальной по времени версии BC-метода

This preprint was accepted June  12, 2026

АННОТАЦИЯ:

 
Пусть $\Omega$ есть риманово многообразие с границей $\Gamma$.
Оптимальная по времени версия BC-метода определяет параметры в
$T$-окрестности $\Omega^T$ границы $\Gamma$ по граничным
наблюдениям (оператору реакции) $R^{2T}$ в интервале времени
$[0,2T]$. Она визуализирует невидимые наблюдателю волны,
заполняющие $\Omega^T$, определяя оператор $W^T$, который создает
эти волны. Визуализация основана на треугольной факторизации
оператора $C^T:=W^{T\,*}W^T$ в виде $C^T:=F^{T\,*}F^T$ с
треугольным фактором $F^T=U^{T}W^T$, где $U^T$ -- унитарный
оператор.

Факторизация $C^T\mapsto F^T$ обладает некоторой устойчивостью, в
силу которой оптимальное по времени восстановление $R^{2T}\mapsto
C^T\mapsto F^T\mapsto W^T$ оказывается устойчивым (непрерывным) в
адекватных операторных топологиях.

В качестве примера рассматривается восстановление потенциала $q$ в
волновом уравнении $u_{tt}-\Delta u+qu=0$ на заданном $\Omega$ по
$R^{2T}$. Мы показываем, что при некоторых предположениях о
сходимости $R^{2T}_j\to R^{2T}$, она влечет сходимость $q_j\to q$
в $H^{-2}(\Omega^T)$. Однако, вопрос о количественных оценках
устойчивости (о скорости сходимости) остается открытым.


 
Ключевые слова: 
BC-метод, оптимальное по времени
восстановление параметров и многообразий, треугольная
факторизация, визуализация волн, устойчивость




M. I. Belishev



 On a stability of the time-optimal version of the Boundary Control method
 



ABSTRACT:

Let $\Omega$ be a Riemannian manifold, let $\Gamma$ be its
boundary. The time-optimal version of the BC-method determines the
parameters in the $T$-neigh\-bor\-hood $\Omega^T$ of $\Gamma$ from
the boundary observations (response operator) $R^{2T}$ on the time
segment $[0,2T]$. It visualizes the invisible waves supported in
$\Omega^T$, by reconstructing the operator $W^T$ that creates
these waves. The visualization is based on a triangular
factorization of the operator $C^T:=W^{T\,*}W^T$ in the form
$C^T:=F^{T\,*}F^T$ with a triangular factor $F^T=U^{T}W^T$, where
$U^T$ is a unitary operator.

The factorization $C^T\mapsto F^T$ has certain continuity
properties, due to which the time-optimal reconstruction
$R^{2T}\mapsto C^T\mapsto F^T\mapsto W^T$ turns out to be
continuous (stable) in the sense of relevant operator topologies
(convergences).

As an example, determination of the potential $q$ in the wave
equation $u_{tt}-\Delta u+qu=0$ on the known $\Omega$ from
$R^{2T}$ is considered. We show that, under certain assumptions on
the convergence $R^{2T}_j\to R^{2T}$, it implies $q_j\to q$ in
$H^{-2}(\Omega^T)$. However, the question of quantitative
estimates of stability (the rate of convergence) remains open.
 
  
  

 Key words:  
 BC-method, time-optimal determination
of parameters and manifolds, triangular factorization, wave
visualization, stability

 
 

 [Full text:
  Preprint in English (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg