Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 09/2026

N-преобразование и факторизация DN-оператора

This preprint was accepted June  17, 2026

АННОТАЦИЯ:

 
Пусть $(\Omega,g)$ есть гладкое компактное трехмерное риманово
многообразие с гладким краем $\Gamma$, $\tau(x):={\rm
dist\,}(x,\Gamma)$, $x\in\Omega$;
$\Omega^\tau:=\{x\in\Omega\,|\,\,{\rm dist\,}(x,\Gamma)<\tau$\},
$\Gamma^\tau:=\{x\in\Omega\,|\,\,{\rm dist\,}(x,\Gamma)=\tau$\},
$\tau\geqslant 0$. Упрощая техническую сторону задачи, мы
предполагаем, $\Omega$ гомеоморфно шару в $\mathbb R^3$.

Пусть $\mathscr P:=\{\nabla p\,|\,\,p\in H^1(\Omega)\}$ есть
пространство потенциальных векторных полей и пусть $\mathscr
L_\lambda:=\{\varkappa\nabla\tau\,|\,\,\varkappa\in L_2(\Omega)\}$
суть поля, параллельные $\nabla\tau$. N-преобразование это
отображение из $\mathscr P$ в $\mathscr L_\lambda$, которое
определяется послойно (в соответствии с
$\Omega=\cup_{\tau\geqslant 0}\Gamma^\tau$) по правилу
$$
Nh\,\big|_{\Gamma^\tau}:=(P^\tau h)\big|_{\Gamma^{\tau-0}},
\qquad\tau>0,
$$
где $P^\tau$ суть проекторы в $\mathscr P$ на подпространства
$\mathscr P^\tau:=\{h\in\mathscr P\,|\,\,{\rm
supp\,}h\subset\overline{\Omega^\tau}\}$. Мы показываем, что $N$
есть унитарный оператор.

Пусть $p=p^f(x)$ есть решение задачи Дирихле: $\Delta_g p=0$ в
$\Omega\setminus\Gamma$, $p=f$ на $\Gamma$. DN-оператор $\Lambda$
действует по правилу $\Lambda f:=-\langle\nabla
p^f,\nabla\tau\rangle$ на $\Gamma$. Мы показываем, что с
N-преобразованием связана некоторая факторизация
$\Lambda^{-1}=V^*V$ и обсуждаем ее возможное использование для
восстановления $(\Omega,g)$ по $\Lambda$.


 
Ключевые слова: 
разложение Гельмгольца--Вейля
трехмерных векторных полей, подпространство потенциальных полей,
гармонические поля, N-преобразование, DN-оператор и его
факторизация




Mikhail I. Belishev, Dmitrii V. Korikov



N-transform and factorization of the DN-map
 



ABSTRACT:

Let $(\Omega,g)$ be a smooth compact 3D Riemannian manifold with
the smooth boundary $\Gamma$, $\tau(x):={\rm dist\,}(x,\Gamma)$,
$x\in\Omega$; $\Omega^\tau:=\{x\in\Omega\,|\,\,{\rm
dist\,}(x,\Gamma)<\tau$\}, $\Gamma^\tau:=\{x\in\Omega\,|\,\,{\rm
dist\,}(x,\Gamma)=\tau$\}, $\tau\geqslant 0$. For the sake of
technical simplicity, we deal with $\Omega$ diffeomorphic to a
ball in $\Bbb R^3$.

Let $\mathscr P:=\{\nabla p\,|\,\,p\in H^1(\Omega)\}$ be the space
of the potential vector fields, and let $\mathscr
L_\lambda:=\{\varkappa\nabla\tau\,|\,\,\varkappa\in L_2(\Omega)\}$
be the space of the vector fields parallel to $\nabla\tau$. The
N-transform is a map from $\mathscr P$ to $\mathscr L_\lambda$
defined layer-wise (in accordance with $\Omega=\cup_{\tau\geqslant
0}\Gamma^\tau$) by
$$
Nh\,\big|_{\Gamma^\tau}:=(P^\tau h)\big|_{\Gamma^{\tau-0}},
\qquad\tau>0,
$$
where $P^\tau$ are the projections in $\mathscr P$ onto the
subspaces $\mathscr P^\tau:=\{h\in\mathscr P\,|\,\,{\rm
supp\,}h\subset\overline{\Omega^\tau}\}$. We show that $N$ is a
unitary operator.

Let $p=p^f(x)$ be a solution to the Dirichlet problem: $\Delta_g
p=0$ in $\Omega\setminus\Gamma$, $p=f$ on $\Gamma$. The DN-map
$\Lambda$ is defined by $\Lambda f:=-\langle\nabla
p^f,\nabla\tau\rangle$ on $\Gamma$. We show that the N-transform
provides a certain factorization $\Lambda^{-1}=V^*V$ and discuss
its possible usefulness for determination of $(\Omega,g)$ from
$\Lambda$.
 
  
  

 Key words:  
Helmholtz--Weyl decomposition of 3D
vector fields, subspace of potential fields, harmonic fields,
N-transform, DN-map and its factorization

 
 

 [Full text:
  Preprint in English (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg