"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 368, стр. 156-170

Адаптивное обнаружение функций большого числа переменных

Ю. И. Ингстер, И. А. Суслина

С. Петербургский государственный электротехнический университет (ЛЭТИ), ул. проф. Попова 5, 197376 Санкт-Петербург, Россия

yurii$_ingster@mail.ru

С.Петербургский государственный университет информационных технологий, \newline механики и оптики, Кронверкский пр. 49, 197101 Санкт-Петербург, Россия

isuslina@mail.ru

Аннотация: Основная трудность в статистике функций многих переменных - так называемое ``проклятие размерности'': порядок точности в задаче оценивания и критических радиусов в задаче обнаружения становятся весьма плохими при возрастании количества переменных. Эта трудность проявляется для традиционных функциональных классов, таких как шары в пространствах Соболева или Гельдера. В работе \cite{9} были рассмотрены классы функций бесконечного числа переменных, впервые введенные Слоаном и Вожняковским в \cite{14}. Это шары $\Cal F_{\sigma,s}$ в пространстве взвешенных тензорных произведений, которые определяются параметром гладкости $\sigma>0$ и параметром $s>0$, характеризующим значимость переменных. Из результатов \cite{9} следует, что для модели гауссовского белого шума логарифмическая асимптотика критических радиусов в задачах обнаружения для классов $\Cal F_{\sigma,s}$ аналогична логарифмической асимптотике для функций одной переменной из шара Соболева с параметром гладкости $\sigma^*=\min(s,\sigma)$, что снимает ``проклятие размерности''. Однако тесты, построенные в \cite{9}, зависят от параметров $(\sigma,s)$, которые обычно неизвестны. В этой работе предлагаются тесты, которые не зависят от параметров $(\sigma,s)$ и обеспечивают ту же самую логарифмическую асимптотика критических радиусов равномерно по любому компактному множеству параметров $(\sigma,s)$. Также приводится независимое простое доказательство логарифмической асимптотики критических радиусов для шаров $\Cal F_{\sigma,s}$. Библ. -- 16 назв.
Ключевые слова: минимаксное обнаружение, адаптивное обнаружение, функции большого числа переменных, критические радиусы [minimax detection, adaptive detection, functions of many variables, separation rates]

Полный текст(.pdf)