"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 368, стр. 181-189

С.-Петербургский государственный университет, Университетеский пр. 28, Старый Петергоф, 198504 Санкт-Петербург, Россия

screzh@mail.ru

Аннотация: Рассматривается задача оценивания вектора $\theta = \left(\theta_1,\,\theta_2,\ldots \right)\in \Theta \subset l_2$ по наблюдениям $y_i = \theta_i + \sigma_i \bold{x}_i$, $ i=1,2,\ldots $, где случайные величины $\bold{x}_i\in\Cal{N}(0,\,1)$ независимы, параметрическое множество $\Theta$ компактно, ортосимметрично, выпукло и квадратично выпукло. Показано, что минимаксный риск в этом случае близок к величине $\sup {\goth R}_L\left(\Pi\right)$, где ${\goth R}_L\left(\Pi\right)$ -- минимаксный линейный риск в той же задаче в условиях параметрического множества $\Pi$, а $\sup$ берется по всем бесконечномерным прямоугольникам $\Pi\subset\Theta$. Donoho, Liu, MacGibbon (1990) получили этот результат для случая, когда $\sigma_i,\,i=1,\,2,\,\ldots $, одинаковы. Библ. -- 4 назв.
Ключевые слова: минимаксный риск, линейный минимаксный риск, квадратично выпуклые множества, бесконечномерные прямоугольники [minimax risk, linear minimax risk, quadratically convex sets, hyperrectangles]