"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 383, стр. 5-32
Оценки функционалов с известной последовательностью
моментов через отклонения средних типа Стеклова
О. Л. Виноградов, В. В. Жук
С.-Петербургский государственный
университет, Университетский пр. 28,
Петродворец, 198504\newline Санкт-Петербург, Россия
olvin@math.spbu.ru
zhuk@math.spbu.ru
- Аннотация:
Пусть $C$ -- пространство $2\pi$-периодических непрерывных функций,
$\delta_t^r$ -- центральные разности,
$S_{h,r}$ -- средние Стеклова.
$$
%\align
S_{h,r,m}= %&=%\frac{2}{C_{2m}^m}
\suml_{j=1}^{m}
(-1)^{j-1}\frac{2C_{2m}^{m-j}}{C^m_{2m}}S_{jh,r},\quad
V_{h,r,m}=%&=%\frac{2}{C_{2m}^m}
\suml_{j=1}^{m}(-1)^{j-1}\frac{2C_{2m}^{m-j}}{C^m_{2m}}\delta^r_{jh},
%\endalign
$$
$\nu_{r,m}=\supl_{h>0}\|V_{h,r,m}\|$; $\Phi\colon C\to{\Bbb R}_+$ -- полуаддитивный
функционал, $m_k(\Phi)=\sup\limits_{f\in C^{(k)}}\frac{\Phi(f)}{\|f^{(k)}\|}$.
Доказываются утверждения следующего типа.
Пусть $r,\,m\in\Bbb N$, $h>0$, $p\in{\Bbb Z}_+$, $f\in C$, ряд
$\suml_{k=0}^{\infty}C_{k+p}^{p}\frac{m_{rk}(\Phi)}{h^{rk}}
\nu_{r,m}^k$ сходится. Тогда
$$
\Phi(f)\lle
\biggl(\suml_{k=0}^{\infty}C_{k+p}^{p}\frac{m_{rk}(\Phi)}{h^{rk}}
\nu_{r,m}^k\biggr)
\bigl\|(I-S_{h,r,m})^{p+1}(f)\bigr\|.
$$
Как следствия, получаются неравенства типа
Джексона с лучшими, чем было известно ранее, постоянными.
Библ. -- 9 назв.
- Ключевые слова: функция Стеклова, модуль непрерывности, наилучшее
приближение, моменты функционалов [Steklov function, modulus of continuity, best
approximation, moments of functionals]
Полный текст(.pdf)