"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 397, стр. 115-125
Каноническое продолжение первого неравенства Корна на пространство H(Curl)
П. Нефф, Д. Паули, К.-Дж. Витч
Universit\"at Duisburg-Essen,
Fakult\"at f\"ur Mathematik, Campus Essen
Universit\"atsstr. 2, 45117 Essen, Germany
patrizio.neff@uni-due.de
dirk.pauly@uni-due.de
kj.witsch@uni-due.de
- Аннотация: Мы доказываем неравенство типа Корна для тензор функций
из $\overset{\circ}{\sf H}({\rm Curl};\Omega,\mathbb R^{3\times 3})$
в ограниченной области $\Omega \subset\mathbb R^{3\times 3}$
с липшицувой границей. Показано, что в этом случае существует постоянная
$c>0$ такая, что неравенство
\begin{equation}
\label{kma}
c\|P\|_{{\sf L}^2(\Omega,\mathbb R^{3\times 3})}
\leq\|{\rm sym} P\|_{{\sf L}^2(\Omega,\mathbb R^{3\times 3})}
+\|{\rm Curl} P\|_ {{\sf L}^2(\Omega,\mathbb R^{3\times 3})}
\end{equation}
выполняется для любой тензор функции
$P \in\overset{ \circ}{\sf H}({\rm Curl};\Omega,\mathbb R^{3\times 3})$
обращается в ноль на $\partial \Omega$. Для
полей вида $P=\nabla v$ ${\rm Curl}\, P=0$, где $v\in {\sf H}^1(\Omega,\mathbb R^3)$
и компоненты $v_n$ таковы, что $\nabla v_n$ ортогональны $\partial \Omega$,
вышеприведенная оценка сводится
к нестандартному вырианту первого неравенства Корна:
$$
c\|\nabla v\|_{{\sf L}^2(\Omega,\mathbb R^{3\times 3})}\le
\|{\rm sym}\nabla v\|_{{\sf L}^2(\Omega,\mathbb R^{3\times 3})}.
$$
Для кососимметричных $P$ (${\rm sym}\, P=0$) основная
оценка приводит к нестандартной форме неравенства Пуанкаре.
Поэтому данная оценка может рассматриваться как обобщение двух
классических неравенств: Пуанкаре и первого неравенства Корна.
Библ. -- 24 назв.
- Ключевые слова: неравенство Корна, градиентная теория пластичности,
уравнение Макселла, неравенства Пуанкаре и Фридрихса
[Korn's inequality, gradient plasticity, theory of Maxwell's equations,
Helmholtz' decomposition, Poincar\'e/Friedrichs type estimate]
Полный текст(.pdf)