"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 410, стр. 104-109
Об условиях справедливости неравенства Пуанкаре
А. И. Назаров, С. В. Поборчий
Санкт-Петербургское отделение
Математического института
им. В. А. Стеклова РАН,
Фонтанка 27, 191023 С.-Петербург
и С.-Петербургский
государственный университет,
Университетский пр. 28,
198504, С.-Петербург, Россия
Россия
al.il.nazarov@gmail.com
С.-Петербургский государственный университет,
Университетский пр., 28, Старый Петергоф
198504, С.-Петербург, Россия
poborchi@mail.ru
- Аннотация: Пусть $l=1,2,\dots,\,p,q\ge1$, $G$ -- область в ${\mathbb R}^n $ и ${\mathcal P}_l$ --
пространство полиномов в ${\mathbb R}^n $ степени меньше $l$.
Мы показываем, что включение ${\mathcal P}_l\subset L_q(G)$ (и, следовательно,
${\rm mes}_n (G)<\infty$) является необходимым условием справедливости
обобщенного неравенства Пуанкаре
$$
\inf\left\{\|u-P\|_{L_q(G)}: P\in{\mathcal P}_l\right\}
\le {\rm const}\,\|\nabla_l u\|_{L_p(G)}, \quad u\inL_p^l(G).
$$
Таким образом, это неравенство равносильно непрерывности вложения
$L_p^l(G)\to L_q(G)$.
В случае предельного показателя $q=np/(n-lp)$ при $lp
- Ключевые слова: неравенство Пуанкаре, теоремы вложения
[the Poincar\'e inequality, embedding theorems]
Полный текст(.pdf)