"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 416, стр. 70-90
Оценки функционалов через второй модуль непрерывности четных производных
О. Л. Виноградов, В. В. Жук
С.-Петербургский
государственный университет,
Университетский пр. 28,
Петродворец, 198504 Санкт-Петербург, Россия
olvin@math.spbu.ru, zhuk@math.spbu.ru
- Аннотация:
В работе устанавливается разложение функции по разностям второго
порядка ее последовательных производных.
Затем с помощью этого разложения получаются оценки
функционалов через второй модуль непрерывности $\omega_2$.
Частными случаями полученных оценок служат неравенства типа
Джексона для приближений целыми функциями конечной степени,
тригонометрическими многочленами и сплайнами в различных
пространствах функций.
Постоянные в оценках меньше, чем ранее известные.
Приведем одно из установленных неравенств.
Пусть $p\in[1,+\infty]$,
$\sigma,\gamma>0$, $r\in\mathbb N$,
$f\in W^{(2r)}_p(\mathbb R)$.
Тогда
\begin{align*}
A_{\sigma-0}(f)_p & \lle
\frac{\pi^{2r}}{\sigma^{2r}}
\left(\gamma^{2r}\int\limits_0^{1}|\psi_{2r}| \right. \\
& \left.+\suml_{k=0}^{r}(-1)^{k}
\gamma^{2k-2}(1-2k)\frac{{\mathcal B}_{2k}}{(2k)!}
\frac{{\mathcal K}_{2r+2-2k}}{\pi^{2r+2-2k}}
\right)
\omega_2\left(f^{(2r)},\frac{\gamma\pi}{\sigma}\right)_p.
\end{align*}
Здесь
$\psi_{2r}(u)=-\frac{B_{2r}(u)}{(2r)!}(1-u)-
2r\frac{B_{2r+1}(u)}{(2r+1)!}$,
${\mathcal B}_{n}$ и $B_{n}$ -- числа и многочлены Бернулли,
${\mathcal K}_{n}$ -- константы Фавара,
$A_{\sigma-0}(\cdot)_p$ -- наилучшее приближение целыми
функциями степени меньше $\sigma$ в $L_p(\mathbb R)$.
Библ. --- 16 назв.
- Ключевые слова:
второй модуль непрерывности, наилучшее приближение, неравенства Джексона
[the second modulus of continuity, best approximation,
Jackson inequalities]
Полный текст(.pdf)