"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 421, стр. 58-67

Внутренняя метрика на градуированных графах, стандартность и инвариантные меры

А. М. Вершик

St.Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute, Fontanka 27, 191023 St.Petersburg, Russia

vershik@pdmi.ras.ru

Аннотация: Мы определяем общее понятие гладкой инвариантной эргодической (центральной) меры на пространстве путей $N$-градуированного графа (диаграммы Браттели). Оно основано на понятии стандартности фильтрации, примененном к хвостовой фильтрации путей, и на критерии стандартности, сформулированном с помощью вводимой внутренней метрики, которая может быть каноническим образом определена на множестве вершин графа. Во многих случаях, известных автору, таких, как графы Паскаля, Юнга и др., все эргодические центральные меры являются гладкими (в таких случаях мы и сам граф называем гладким). Но даже в этих случаях внутренняя метрика --- нетривиальный и полезный объект, не совпадающий с ``естественными'' метриками. Мы применяем и обобщаем теорию фильтраций, развиваемую автором в течение 40 лет, для случая ``хвостовой'' фильтрации и, в частности, вводим понятие стандартной полуоднонородной фильтрации, отличающееся от имевшегося ранее понятия стандартности диадической или однородной фильтрации. Важную роль играет понятие регулярного пути, уточняющее ``эргодический метод'' нахождения инвариантных мер. Для таких путей мы получаем усиленную форму теоремы о сходимости мартингалов, сходную с подстановочными эргодическими теоремами автора. В дальнейшем мы имеем в виду использовать новый подход к теории инвариантных мер в комбинаторике, эргодической теории, теории процессов и С$^*$-алгебр. Библ. -- 10 назв.
Ключевые слова: диаграмма Браттели, внутренняя метрика, стандартность фильтрации, центральные меры [Bratteli diagram, intrinsic metric, standardness of filtrations, central measures]

Полный текст(.pdf)