"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 429, стр. 178-192
О дзета-функции Дедекинда. II
О. М. Фоменко
С.-Петербургское отделение Математического
института им. В. А. Стеклова РАН,
Фонтанка 27, 191023 Санкт-Петербург, Россия
fomenko@pdmi.ras.ru
- Аннотация: Пусть $K_n$ -- поле алгебраических чисел степени $n$ над $\mathbb{Q}$. Обозначим через
$A(x,K_n)$ количество целых идеалов поля $K_n$, норма которых $\leq x$.
Известно, что
$$
A(x,K_n)=\Lambda_nx+\Delta(x,K_n),
$$
где $\Delta(x,K_n)$ -- остаточный член. Оценкой $\Delta(x,K_n)$ занимались
классики, начиная с Вебера и Ландау, а также современные авторы, например
Новак (W. G. Nowak, Math. Nachr. {\bf 161} (1993), 59--74). В части I
настоящей работы (О. М. Фоменко, Зап. научн. семин. ПОМИ {\bf 418}(2013), 184--197) были
доказаны новые оценки остатка $\Delta(x,K_n)$ для некоторых типов полей
$K_n$. В настоящей работе для некоторых полей $K_n$, $n=8,16$, получены
оценки
$$
\Delta(x,K_n)\ll x^{1-\frac{3}{n+2}+\varepsilon}.
$$
Сами поля имеют вид: $K_8=\mathbb{Q}(\sqrt{-1},\root 4 \of{m})$, где целое
$m>0$ не является квадратом;
$$
K_8=\mathbb{Q}(\root 4\of{\varepsilon_m}) \quad\text{и} \quad
K_{16}=\mathbb{Q}(\sqrt{-1},\root 4\of{\varepsilon_m}),
$$
где целое $m>0$ свободно от квадратов и $\varepsilon_m$ -- фундаментальная
единица поля $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$.
Кроме того, изучен феномен Титчмарша для дзета-функции Дедекинда
$\zeta_{K_n}(s)$ любого числового поля: при $(\log T)^c\leq Y\leq T$
существует положительная константа $C$ такая, что
$$
\max\limits_{T\le t\le
T+Y}\left|\zeta_{K_n}\left(\frac{1}{2}+it\right)\right|\ge \exp
\left\{C\left(\frac{\log Y}{\log\log Y}\right)^{1/2}\right\}.
$$
Наконец, следуя Ивичу (A. Ivi\'c, Acta Arithm. {\bf 56} (1990), 135--159),
автор получает следующее утверждение о больших значениях остатка
$\Delta(x,K_n)$: для произвольного числового поля $K_n$ найдутся
положительные константы $c_1$ и $c_2$ такие, что для каждого $T>T_0$
интервал $[T,T+c_1T^{1-1/n}]$ содержит две точки $t_1$, $t_2$, для которых
$$
\Delta(t_1,K_n)>c_2t_1^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}}, \quad
\Delta(t_2,K_n)<-c_2t_2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}}.
$$
Библ. -- 26 назв.
- Ключевые слова: дзета-функция Дедекинда, распределение идеалов, экстремальные значения
[Dedekind $\zeta$-function, extremal values]
Полный текст(.pdf)