"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 429, стр. 193-201
О числе классов полей алгебраических чисел
О. М. Фоменко
С.-Петербургское отделение Математического
института им. В. А. Стеклова РАН,
Фонтанка 27, 191023 Санкт-Петербург, Россия
fomenko@pdmi.ras.ru
- Аннотация:
Пусть $K$ -- числовое поле степени $n$ над $\mathbb{Q}$ и $d$, $h$ и $R$
-- абсолютное значение дискриминанта, число классов и регулятор поля $K$
соответственно. Хорошо известно, что если $K$ не содержит квадратичного подполя, то
$$
h\,R\underset{n}{\gg}\frac{d^{1/2}}{\log d}.
$$
В теореме 1 работы этот результат уточняется в случае чисто кубического
поля $K$.
Рассмотрим семейство $\mathcal{K}_n$ полей, где $K\in \mathcal{K}_n$, если
$K$ -- тотально вещественное числовое поле степени $n$, нормальное замыкание которого имеет
в качестве группы Галуа симметрическую группу $S_n$. В теореме 2 доказано,
что при фиксированном $n\ge 2$ существует бесконечное множество полей
$K\in \mathcal{K}_n$ с
$$
h\underset{n}{\gg}d^{1/2}(\log\log d)^{n-1}/(\log d)^n.
$$
Это несколько улучшает аналогичный результат Дьюка (W. Duke, Compos.
Math. {\bf 136} (2003), 103--115). Библ. -- 16 назв.
- Ключевые слова: число классов, дзета-функция Дедекинда, исключительный нуль,
чисто кубическое поле, гипотеза Артина, обобщенная гипотеза Римана
[class number, Dedekind $\zeta$-function, generalized Riemann hypothesis]
Полный текст(.pdf)