"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 436, стр. 76-100
К истории возникновения понятия $\varepsilon$-энтропии автоморфизма пространства Лебега и понятия $(\varepsilon,T)$-энтропии динамической системы с непрерывным временем
Д. З. Аров
Южно-украинский
национальный педагогический университет,
Одесса, Украина
arov_damir@mail.ru
- Аннотация:
Работа содержит пятую главу дипломной работы, выполненной в 1956--57 гг. и представляющей интерес как при рассмотрении истории возникновения понятия энтропии в метрической теории динамических систем, так и для дальнейшего развития этой теории. Самой истории возникновения понятия энтропии и $\varepsilon$-энтропии автоморфизма пространства Лебега и динамической системы в этом пространстве посвящено предисловие, написанное в настоящее время.
В пятой главе дипломной работы, публикуемой в том виде, в каком она была написана в оригинале, т.е. на русском языке и без каких-либо изменений, для произвольной эргодической динамической системы $f(p,t)$ (где $p\in R$, $t\in(-\infty,\infty)$) в сепарабельном компактном метрическом пространстве $R$ с инвариантной нормированной ($\mu(R)=1$) мерой $\mu$ на основе шенноновского понятия энтропии, возникшего в теории информации, введено понятие $(\varepsilon, T)$-энтропии $H_{\varepsilon,T}(f,\mu)$, где $0<\varepsilon\leq \frac{1}{2}$, $T>0$. Для этого по произвольному конечному разбиению $\xi=\{A_i\}$ пространства $R$ на измеримые множества с $\mu(A_i)\geq \varepsilon$ при всех $i$ ($\varepsilon$-разбиению) и произвольному разбиению интервала $(-\infty, \infty)$ на частичные интервалы $[t_{i-1},t_i]$, $i=0,\pm 1,\pm 2,\dots$, равной длины $T$ ($T$-разбиению) по динамической системе определяется стационарный эргодический источник с конечным алфавитом $\{A_i\}$ и с шенноновской энтропией источника $H$, зависящей от выбранных $\varepsilon$-разбиения пространства $R$ и $T$-разбиения интервала $(-\infty,\infty)$. В работе $(\varepsilon,T)$-энтропия динамической системы определяется как $\sup H$ по всевозможным рассматриваемым разбиениям при фиксированных $\varepsilon$ и $T$.
Библ. -- 25 назв.
- Ключевые слова:
динамическая система, энтропия автоморфизма и
динамической системы, пространство Лебега, шенноновская информация
[ dynamical system, entropy of an automorphism and dynamical system,
Lebesgue space, Shannon information ]
Полный текст(.pdf)