"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 445 , стр. 33-92
Дифференцирование индуцированных разбиений тора и многомерные приближения алгебраических чисел
В. Г. Журавлев
Владимирский государственный университет, пр. Строителей 11, 600024, Владимир,
Россия
vzhuravlev@mail.ru
- Аннотация:
©© Рассматриваются индуцированные разбиения
$\mathcal{T}=\mathcal{T}|_{\mathrm{Kr}}$ тора $\mathbb{T}^D$
размерности $D$, порождающиеся вложенным в него ядром $\mathrm{Kr}$.
На них определены операции дифференцирования $\sigma: \mathcal{T}
\longrightarrow \mathcal{T}^{\sigma}$, в результате действия
которых снова получаются индуцированные разбиения
$\mathcal{T}^{\sigma}=\mathcal{T}|_{\mathrm{Kr}^{\sigma}} $ того же
тора $\mathbb{T}^D$, порождаемые производным ядром
$\mathrm{Kr}^{\sigma}$. На языке ядер $\mathrm{Kr}$
дифференцирования $\sigma$ сводятся к комбинации геометрических
преобразований пространства $\mathbb{R}^D$ --- косому сдвигу и
сжатиям вдоль прямой.
С помощью дифференцирований находятся приближения нуля на торе
$\mathbb{T}^D$ бесконечной последовательностью точек $x_j\equiv
j\alpha \; \mathrm{mod} \; \mathbb{Z}^D$ для $j=0,1,2, \ldots$, где
$\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_D)$ --- вектор с координатами
$\alpha_1,\ldots$, $\alpha_D$ из алгебраического поля
$\mathbb{Q}(\theta)$ степени $D+1$ над полем рациональных
$\mathbb{Q}$. С этой целью строится бесконечная последовательность
выпуклых параллелоэдров $T^{(i)}\subset \mathbb{T}^D$ для $i=0,1,2,
\ldots$ с определенными для них порядками $ m^{(0)}< m^{(1)}<
\ldots < m^{(i)}< \ldots, $ где $m^{(i)}$ --- натуральные числа.
Доказывается, что ограниченные параллелоэдрами $T^{(i)}$ области на
торе $\mathbb{T}^D$ выделяют подпоследовательность точек $\{ x_{j'}
\}_{j'=1}^{\infty}$, наилучшим образом приближающихся к $0\in
\mathbb{T}^D$.
Библ. --- 27 назв.
- Ключевые слова: перекладывания тора, индуцированные разбиения, наилучшие многомерные приближения
[toric exchange, induced decomposition, bounded remainder sets]
Полный текст(.pdf)