"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 447, стр. 33-50

С.-Петербургское отделение Математического института, им. В. А. Стеклова РАН, Фонтанка 27, 191023, С.-Петербург, Россия

gamal@pdmi.ras.ru

Аннотация: Для любого $\delta$, $0<\delta<1$, строятся примеры сжатий, характеристическая функция которых $F\in H^\infty(\mathcal E\to\mathcal E_\ast)$ удовлетворяет условиям $$ \|F(z)x\|\geq\delta\|x\|, \quad \dim\mathcal E_\ast\ominus F(z)\mathcal E =1 $$ для всех $z\in\mathbb D$, $x\in\mathcal E$, но не обратима слева, что дает ответ на вопрос С.Р. Треиля (2004). Также показано, что условие $$\sup_{z\in\mathbb D}\|I-F(z)^\ast F(z)\|_{\mathfrak S_1}<\infty,$$ где $\mathfrak S_1$ -- класс ядерных операторов, достаточное для обратимости слева операторнозначной функции $F$, удовлетворяющей оценке $\|F(z)x\|\geq\delta\|x\|$ для всех $z\in\mathbb D$, $x\in\mathcal E$, при $\delta>0$ (S.~R.~Treil, 2004), является необходимым для обратимости слева внутренней функции $F$, такой что $\dim\mathcal E_\ast\ominus F(z)\mathcal E<\infty$ при некотором $z\in\mathbb D$. Библ. -- 25 назв.
Ключевые слова: операторная теорема о короне, сжатие, подобие изометрии [operator corona theorem, contraction, similarity to an isometry]