"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 467, стр. 143-150

Мера Хаусдорфа на $N$-мерных многообразиях в $\mathbb R^m$ и $N$-мерные вариации

А. В. Потепун

Математико-механический факультет Ст.-Петербургский государственный университет, Университетский пр., 28, Петергоф, Санкт-Петербург, 198504, Россия

potepun.alexei@yandex.ru, chair.math.analysis@gmail.com

Аннотация: По известной теореме Жордана кривая в ${\mathbb R}^m$, параметризованная непрерывным отображением $f:[a;b]\to{\mathbb R}^m$ с координатными функциями $f_1,\dots,f_m$, спрямляема тогда и только тогда, когда вариации всех функций $f_1,\dots,f_m$ конечны, а для длины кривой выполнены неравенства: \[V_{f_i}\big([a;b]\big)\leqslant l\big(f([a;b])\big)\leqslant \sum\limits_{k=1}^m V_{f_k}\big([a;b]\big),\quad i=1,\dots,m.\] При этом $l\big(f([a;b])\big)=H_1\big(f([a;b])\big)$, где $H_1$ -- одномерная мера Хаусдорфа в ${\mathbb R}^m$. В данной работе понятие вариации функции одной вещественной переменной на промежутке $[a;b]$ обобщено на случай непрерывного отображения $f\colon G\to{\mathbb R}^n$, где $G$ открыто в ${\mathbb R}^n$, на множестве $A\subset G$, являющемся объединением не более чем счётного семейства компактов. Пусть $f\colon G\to{\mathbb R}^m$, где $G$ открыто в ${\mathbb R}^n$, $n\leqslant m$, $f_1,\dots,f_m$ -- координатные функции отображения $f$. Если $1\leqslant i_1
Ключевые слова: вариация непрерывного отображения, теорема Жордана, мера Хаусдорфа [variation of continuous mapping, Jordan's theorem, Hausdorff measure]

Полный текст(.pdf)