"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 479 , стр. 5-22

Коммутаторы конгруэнц-подгрупп в арифметическом случае.

Н. А. Вавилов

С.-Петербургский государственный университет, Университетская наб. д.7-9, 199034 Санкт-Петербург, Россия

nikolai-vavilov@yandex.ru

Аннотация: В нашей совместной статье с Алексеем Степановым доказано, что для двух любых комаксимальных идеалов $A$ и $B$ коммутативного кольца $R$, $A+B=R$, и любого $n\ge 3$ выполняется равенство $$[E(n,R,A),E(n,R,B)]=E(n,R,AB). $$ Алек Мейсон и Уилсон Стотерс построили контр-примеры которые показывают, без предположения комаксимальности идеалов $A$ и $B$ это равенство может нарушаться даже для столь хороших колец как $\mathbb Z[i]$. В настоящей работе мы устанавливаем довольно удивительный результат, чтол это равенство -- и, на самом деле, более сильное равенство $[\operatorname{GL}(n,R,A),\GL(n,R,B)]=E(n,R,AB)$ -- выполняются для любых пар идеалов в случае, когда $R$ дедекиндово кольцо арифметического типа с \emph{бесконечной} мультипликативной группой. Доказательство является смесью элементарных вычислений в духе предшествующих работ Вильберда ван дер Каллена, Рузби Хазрата, Дзухонга Чжанга, Алексея Степанова и автора, и, с другой стороны, явного вычисления многопараметрических относительных $\operatorname{SK}_1$ из моей статьи 1982 года, которая, в свою очередь, опиралась на глубокие арифметичсекие результаты Жана-Пьера Серра и Леонида Васерштейна (после их исправления Армином Лейтбехером и Бернардом Лилем). Библ. -- 50 назв.
Ключевые слова: полная линейная группа, конгруэнц-подгруппы, элементарные группы, стандартные коммутационные формулы, дедекиндовы кольца арифметического типа [general linear group, congruence subgroups, elementary subgroups, standard commutator formulae, Dedekind rings of arithmetic type]

Полный текст(.pdf)