"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 491, стр. 52-65
О скорости стремления к нулю масштабирующей функции Мейера
О. Л. Виноградов
С.-Петербургский государственный университет,
Университетский пр., д.28,
198504, Санкт-Петербург, Россия
olvin@math.spbu.ru
- Аннотация:
Масштабирующей функцией Мейера называют такую функцию
$$\varphi\colon\Bbb R\to\Bbb R,
$$
целочисленные сдвиги которой $\varphi(\cdot+n)$, $n \in \Bbb Z$,
ортонормированы\break в $L_2(\Bbb R)$, а преобразование Фурье
$\widehat{\varphi}(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\mathbb
R}\varphi(t)e^{-iyt}\,dt$ имеет вид: $\widehat{\varphi}$ четна, $\widehat{\varphi}=0$ вне
$[-\pi-\varepsilon,\pi+\varepsilon]$, $\widehat{\varphi}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$
на $[-\pi+\varepsilon,\pi-\varepsilon]$, где
$\varepsilon\in\bigl(0,\frac{\pi}{3}\bigr]$.
Основной результат работы следующий. Пусть
$\omega\colon[0, +\infty) \to [0,+\infty)$, функция
$\frac{\omega(x)}{x}$ убывает. Тогда следующие утверждения
равносильны.
1. Для любого (или, что равносильно, для некоторого)
$\varepsilon\in(0,\frac{\pi}{3}]$ существуют
$x_0>0$ и
масштабирующая функция Мейера $\varphi$, такая что $\widehat{\varphi}=0$ вне
$[-\pi-\varepsilon,\pi+\varepsilon]$ и
$|\varphi(x)|\leqslant e^{-\omega(|x|)}$ при всех $|x|>x_0$.
2. $\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\omega(x)}{x^2}\,dx<+\infty$.
Библ. -- 11 назв.
- Ключевые слова: масштабирующая функция Мейера, преобразование Фурье
[Meyer scaling function, Fourier transform]
Полный текст(.pdf)