"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 505, стр. 94-137
Дискретные внутренние объемы и валюации Грассмана
М. К. Досполова
Международный математический институт им. Леонарда Эйлера,
С.-Петербург, Россия
dospolova.maria@yandex.ru
- Аннотация:
Для выпуклого решетчатого многогранника $ P \subset \mathbb R ^ d $ размерности $ d $ с вершинами в $ \mathbb Z ^ d $ обозначим через $ L (P) $ его дискретный объем, который определяется как число целых точек, лежащих в $ P $.
Знаменитая теорема Эрхарта гласит, что для натурального числа $ n $ функция $ L (nP) $ является многочленом от $ n $ степени $ d $, старший коэффициент которого равен объему $ P $. В частности, $ L (nP) $ аппроксимирует объем $ nP $ при больших $ n $.
В выпуклой геометрии одним из центральных понятий, обобщающих объем, являются внутренние объемы. Основная цель данной статьи -- ввести и рассмотреть их дискретные аналоги. В частности, мы покажем, что для них справедлив аналог результата Эрхарта, где объем заменяется внутренним объемом.
Кроме того, в статье введено и изучено понятие валюации Грассмана, которое обобщает как дискретный объем, так и валюацию телесного угла, введенную Ривом и Макдональдом.
Библ. -- 19 назв.
- Ключевые слова: Решетчатый многогранник, дискретный объем, внутренний объем, дискретный внутренний объем, конический внутренний объем, угол Грассмана, многочлен Эрхарта, многочлен Макдональда, тетраэдр Рива, телесный угол, валюация
[Lattice polytope, discrete volume, intrinsic volume, discrete intrinsic volume, conic intrinsic volume, Grassmann angle, Ehrhart polynomial, solid-angle polynomial, Macdonald Polynomial, Reeve's tetrahedron, solid angle, valuation]
Полный текст(.pdf)