"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 510, стр. 98-123
Смешанный объем бесконечномерных выпуклых
компактов
М. К. Досполова
Международный
математический институт им. Леонарда Эйлера,
С.-Петербург, Россия
dospolova.maria@yandex.ru
- Аннотация:
Пусть $K$ -- выпуклое компактное $GB$-подмножество сепарабельного гильбертова пространства $ H$. Обозначим через $\spec_k K$ множество $\{(\xi_1(h), \ldots, \xi_k(h))\colon h\in K\}\subset \R^k,$ где $\xi_1, \ldots, \xi_k$ -- независимые копии изонормального гауссовского процесса. Цирельсон показал, что в этом случае для внутренних объемов $K$ верна формула
\begin{equation*}%\label{2042}
V_k(K)= \frac{(2\pi)^{k/2}}{k!\kappa_k} \mathbf{E}\,\Vol_k(\spec_k K),
\end{equation*}
где $\mathbf{E} \ \Vol_k(\spec_k K)$ -- средний объем $\spec_k K$ и $\kappa_k$ -- объем $k$-мерного единичного шара.
В статье обобщается теорема Цирельсона на случай \textit{смешанных объемов} бесконечномерных выпуклых $GB$-компактов в $H$ и вводится понятие смешанного объема для бесконечномерных выпуклых подмножеств $H$.
Кроме того, на основе полученного результата
вычисляется смешанный объем замкнутых выпуклых оболочек двух ортогональных спиралей Винера.
Библ. -- 20 назв.
- Ключевые слова: смешанные объемы, внутренние объемы, теорема Судакова, теорема Цирельсона, $GB$-множество, изонормальный процесс, естественная модификация, спираль Винера.}%дискретный внутренний объем, конический внутренний объем, угол Грассмана, многочлен Эрхарта, многочлен Макдональда, тетраэдр Рива, телесный угол, валюация
[mixed volumes, intrinsic volumes, Sudakov's theorem, Tsirelson's theorem, $GB$-set, isonormal process, natural modification, Wiener spiral]
Полный текст(.pdf)