"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 511, стр. 5-27

Двойные смежные классы $NgN$ нормализаторов максимальных торов простых алгебраических групп и орбиты частичных действий подгрупп Кремоны

Н. Л. Гордеев, Е. А. Егорченкова

Факультет математики, Российского Государственного, Педагогического Университета им. А. И. Герцена, Мойка 48, 191186, Санкт-Петербург, Россия

nickgordeev@mail.ru

e-egorchenkova92@mail.ru

Аннотация: Пусть $G$ -- простая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем $K$ и пусть $N=N_G(T)$ -- нормализатор зафиксированного максимального тора $T\leqslant G$. Далее, пусть $U$ -- унипотентный радикал зафиксированной подгруппы Бореля $B$, содержащей $T$, и пусть $U^{-}$ -- унипотентный радикал противоположной подгруппы Бореля $B^{-}$. Из разложения Брюа получаем разложение $G=NU^{-} UN$. Замкнутое по Зарисскому подмножество $U^{-} U\subset G$ изоморфно аффинному пространству $A^m_K$, где $m=\mathrm{dim} G-\mathrm{dim} T$ -- количество корней в соответствующей системе корней. В данной работе мы строим подгруппу $\mathcal N\leqslant\mathrm{Cr}_m(K)$, которая {\it действует частично} на $A^m_K\approx\mathcal U$, и показываем, что существует взаимно-однозначное соответствие между орбитами этого частичного действия и множеством двойных смежных классов $\{ NgN\}$. Здесь мы также вычисляем множество $\{ g_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathfrak U}\subset\mathcal U$ представителей этих орбит в простейшем случае $G=\mathrm{SL}_2(\mathbb C)$. Библ. -- 6 назв.
Ключевые слова: простая алгебраическая группа, большая клетка Гаусса, частичные действия групп, группа Кремоны аффинного пространства [simple algebraic group, big Gauss cell, partial actions of groups, the Cremona group of affine space]

Полный текст(.pdf)