"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 516, стр. 69-120
О характеристических определителях граничных задач для
систем типа Дирака
А. Лунев, М. Маламуд
A.A.Lunyov@gmail.com
Российский Университет Дружбы Народов,
Математический институт им. С. М. Никольского,
ул. Орджоникидзе 3, Москва
malamud3m@gmail.com
- Аннотация:
Изучаются асимптотические свойства спектра граничных задач для следующей $n \times n$-системы типа Дирака
$$
y' + Q(x) y = i \la B(x) y, \quad
y = \col(y_1, \ldots, y_n), \quad x \in [0,\ell],
$$
на конечном отрезке $[0,\ell]$ с общими регулярными
граничными условиями $C y(0) + D y(\ell) = 1$, где $C, D \in \bC^{n \times n}$. Здесь $Q = (Q_{jk})_{j,k=1}^n \in \LL{1}$ -- потенциальная матрица и
$$
B = \diag(\beta_1, \ldots, \beta_n) = B^*
\in L^1([0,\ell];\mathbb{R}^{n \times n})
$$
--
диагональная ``весовая'' матрица.
При $n=2m$ и $B(x) = \diag(-I_m, I_m)$ эта система эквивалентна $n\times n$-системе Дирака.
Показывается, что при условии $\supp(Q_{jk}) \subset \supp(\beta_k - \beta_j)$ разность характеристических определителей $\Delta_Q(\cdot)$ и $\Delta_0(\cdot)$
изучаемой и ``невозмущенной'' ($Q \equiv 0$) граничных задач является преобразованием Фурье некоторой суммируемой функции,
$$
\Delta_Q(\la) = \Delta_0(\la) + \int\limits_{\wt{b}_-}^{\wt{b}_+} g(u) e^{i \la u} \, du,
\quad g \in L^1[\wt{b}_-, \wt{b}_+].
$$
Этот результат справедлив для произвольных граничных условий и произвольной диагональной матрицы $B(\cdot) = B(\cdot)^*$.
Это представление применяется для
доказательства того, что характеристический определитель $\Delta_Q(\cdot)$ всегда является функцией класса $A$ экспоненциального типа, ограниченной на действительной оси. Также находятся условия, гарантирующие, что $\Delta_Q(\cdot)$~ -- функция типа синуса и дается точная асимптотика его нулей (собственных значений задачи) в этом случае.
Показывается также, что если элементы матрицы $B(\cdot)$ меняют знак,
то даже в случае регулярных граничных условий в ситуации общего положения спектр распадается на две ветви:
собственные значения ``хорошей'' ветви лежат в горизонтальной полосе и близки к таковым у ``невозмущенной задачи'', а собственные числа ``плохой'' ветви имеют ненулевую плотность и уходящие в бесконечность мнимые части.
Этот эффект иллюстрируется на конкретном $2 \times 2$-примере.
Библ. -- 37 назв.
- Ключевые слова: системы обыкновенных дифференциальных уравнения, регулярные граничные условия, функции типа синуса,
асимптотика собственных значений
[Systems of ordinary differential equations, regular boundary conditions, sine-type functions, eigenvalues asymptotic]
Полный текст(.pdf)