"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 516, стр. 135-175
Усреднение многомерных параболических уравнений с периодическими коэффициентами на краю внутренней лакуны
А. А. Мишулович
С.-Петербургский государственный университет, Университетская наб., д. 7/9, 199034, С.-Петербург, Россия
st062829@student.spbu.ru
- Аннотация:
В пространстве $L_2(\mbbR^d)$ изучается эллиптический
дифференциальный оператор второго порядка вида
$A_{\varepsilon} = \bsopD^* g(\bsmx/\varepsilon) \bsopD + \varepsilon^{-2} p({\bsmx}/\varepsilon),$ $\varepsilon >0$,
с периодическими коэффициентами.
Изучается поведение при малом $\varepsilon$ полугруппы
$e^{- A_{\varepsilon} t}$, $t>0$, срезанной спектральным проектором оператора $A_{\varepsilon}$ на
интервал вида $[\varepsilon^{-2} \lambda_{+},+\infty)$.
Здесь $\varepsilon^{-2} \lambda_{+}$ --- правый край спектральной лакуны
оператора $A_{\varepsilon}$.
Получена аппроксимация ``срезанной'' полугруппы по операторной норме в $L_2(\mbbR^d)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$, а также более точная аппроксимация при учете корректора с погрешностью $O(\varepsilon^2)$ (после выделения множителя $e^{-t \lambda_{+} / \varepsilon^2}$).
Результаты применяются к усреднению решения задачи Коши
$\partial_t v_\varepsilon = - A_\varepsilon v_\varepsilon$, $v_\varepsilon\vert_{t=0} = f_\varepsilon$,
с начальным данным $f_\varepsilon$ из специального класса.
Библ. -- 24 назв.
- Ключевые слова: периодические дифференциальные операторы, спектральная лакуна, параболическое уравнение, усреднение, операторные оценки погрешности
[Periodic differential operators; spectral gap; parabolic equation; homogenization; operator error estimates]
Полный текст(.pdf)