"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 532, стр. 169-211
Асимптотики третьего вырожденного уравнения Пенлеве в окрестности регулярной особой точки:
изомонодромный подход
А. В. Китаев, А. Вартанян
С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН,
наб. р. Фонтанки 27, Санкт-Петербург 191023, Россия
kitaev@pdmi.ras.ru
Department of Mathematics, College of Charleston, Charleston,
SC 29424, USA
math.av@cofc.edu
- Аннотация:
Статья содержит несколько технических улучшений наших ранее
полученных результатов по параметризации данными монодромии
асимптотик при $\tau\to0$ решений $u(\tau)$ третьего вырожденного уравнения Пенлеве,
$$
u^{\prime \prime}(\tau) = \frac{(u^{\prime}(\tau))^{2}}{u(\tau)}
- \frac{u^{\prime}(\tau)}{\tau} + \frac{1}{\tau}
\left(-8 \varepsilon (u(\tau))^{2} + 2ab \right) + \frac{b^{2}}{u(\tau)},
$$
где $ \varepsilon = \pm 1$,
$\varepsilon b > 0$, $ a \in \mathbb{C}$,
а также связанной с этими решениями \emph{функцией крота}, $\varphi (\tau)$,
которая является общим решением уравнения
$\varphi^{\prime}(\tau) = \tfrac{2a}{\tau} + \tfrac{b}{u(\tau)}$.
Мы также описываем три семейства решений,
$u(\tau)$, которые зависят от трёх вещественных параметров,
которые имеют в комплексной $\tau$-плоскости бесконечнечную последовательность нулей,
сходящуюся к точке $\tau=0$. Кроме того, для параметра
$a=0$ дана численная визуализация формул связи асмптотик при $\tau\to0$
и $\tau\to\infty$ решений $u(\tau)$ и $\varphi(\tau)$, имеющих логарифмическое
поведение при малых значениях $\tau$.
Библ. -- 24 назв.
- Ключевые слова: уравнение Пенлеве, данные монодромии, асмптотика
[Painleve equation, monodromy data, asymptotics]
Полный текст(.pdf)