"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 536, стр. 79-95

О задаче М. Каца с дополненными данными

М. И. Белишев, А. Ф. Вакуленко

С.-Петербургское Отделение Математического Института им. В. А. Стеклова, РАН

belishev@pdmi.ras.ru

vak@pdmi.ras.ru

Аннотация: Пусть $\Omega$ -- ограниченная область на плоскости. Как известно, спектр $0<\lambda_1<\lambda_2\leqslant\dots$ задачи Дирихле для оператора Лапласа $L=-\Delta\upharpoonright[H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)]$ не определяет область однозначно (с точностью до изометрии). Естественно задаться вопросом: как дополнить спектр какими-либо данными, чтобы добиться однозначности? Задать спектр значит задать оператор $L$ в собственном представлении, т.е в виде $\widetilde L=\Phi L\Phi^*={\rm diag\,}\{\lambda_1,\lambda_2,\dots\}$, где $\widetilde L$ действует в пространстве ${\bf l}_2$, а $\Phi:L_2(\Omega)\to{\bf l}_2$ -- преобразование Фурье. Пусть $\mathscr K=\{h\in L_2(\Omega)\,|\,\Delta h=0 \text{ в } \Omega\}$ -- подпространство гармонических функций, $\widetilde{\mathscr K}=\Phi{\mathscr K}\subset{\bf l}_2$. Мы показываем, что для весьма широкого класса многообразий, пара $\widetilde L,\widetilde{\mathscr K}$ определяет $\Omega$ с точностью до изометрии. Это оказывается верным не только для пл2оских областей ("барабанов"), но и для широкого класса компактных римановых многообразий произвольной размерности, метрики и топологии. Таким образом, добавляя к спектру подпространство $\widetilde{\mathscr K}\subset{\bf l}_2$ мы делаем задачу разрешимой однозначно. Библ. -- 11 назв.
Ключевые слова: задача М. Каца, дополнительные данные, теория решеток, динамическая система с граничным управлением [M. Kac problem, augmented data, lattice theory, dynamical system with boundary control]

Полный текст(.pdf)