"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 536, стр. 96-125
Гипотеза Пейна о нодальном множестве для дробного p-лапласиана
в симметричных по Штейнеру областях
В. Бобков, С. Колоницкий
Institute of Mathematics,
Ufa Federal Research Centre, RAS,
Chernyshevsky str. 112,
450008 Ufa, Russia
bobkov@matem.anrb.ru, bobkovve@gmail.com
St.Petersburg Electrotechnical University ``LETI''
Professora Popova str. 5,
St. Petersburg, Russia
sbkolonitskii@etu.ru, sergey.kolonitskii@gmail.com
- Аннотация:
Пусть $u$ является либо второй собственной функцией дробного
$p$-лапласиана, либо знакопеременное решение наименьшей энергии уравнения
$(-\Delta)^s_p u = f(u)$ со сверходнородной и субкритической нелинейностью
$f$, в ограниченном открытом множестве $\Omega$ и при нелокальных нулевых
условиях Дирихле. Предполагая только, что $\Omega$ симметрична по Штейнеру,
мы показываем, что носители положительных и отрицательных частей функции
$u$ касаются $\partial\Omega$. Как следствие, нодальное множество $u$
обладает тем же свойством если $\Omega$ связно. Доказательство основано на
анализе случаев равенства в некоторых поляризационных неравенствах,
включающих положительные и отрицательные части $u$, и на альтернативных
характеристиках вторых собственных функций и знакопеременных решений
наименьшей энергии.
Библ. -- 50 назв.
- Ключевые слова: дробный p-лапласиан, вторая собственная функция,
знакопеременное решение наименьшей энерг
[fractional $p$-Laplacian, second eigenfunctions,
least energy nodal solutions, Payne conjecture, nodal set, polarization]
Полный текст(.pdf)