"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 544, стр. 28-39
О числе точек пересечения случайных гиперплоскостей внутри выпуклого тела
А. С. Болотин
Математический институт
им. Ленарда Эйлера, ПОМИ РАН,
Санкт-Петербург,Россия
bolotin2003@yandex.ru
- Аннотация:
Рассматривается задача о распределении числа точек пересечения $n$
случайных гиперплоскостей внутри выпуклого тела $D\subset\mathbb{R}^d$.
Предлагается новый подход к изучению вероятностей $p_{nk}^{(d)}$ того,
что ровно $k$ из ${n\choose d}$ возможных точек пересечения $d$-мерных
наборов гиперплоскостей находятся внутри $D$. Метод основан на выражении
искомых вероятностей через математические ожидания произведений индикаторных
функций и классических тождествах для чисел Стирлинга второго рода.
Получена общая формула для $p_{nk}^{(d)}$ в терминах этих ожиданий.
Для случая $n=d+1$ найдены явные выражения вероятностей через новые
геометрические инварианты выпуклого тела, обобщающие классические
результаты для плоского случая $(d=2)$ на произвольную размерность.
Библ. -- 5 назв.
- Ключевые слова: случайные гиперплоскости, выпуклое тело,
мера Крофтона, геометрическая вероятность, числа Стирлинга второго рода,
точки пересечения, интегрально-геометрические инварианты,
интегральная геометрия
[random hyperplanes, convex body, Crofton's measure, geometric probability,
Stirling numbers of the second kind, intersection points, integral-geometric
invariants, integral geometry]
Полный текст(.pdf)