"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 544, стр. 94-115
Оценки транспортного расстояния в центральной предельной теореме
А. Ю. Зайцев
С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова,
Фонтанка 27, Санкт-Петербург 191023, Россия
и Санкт-Петербургский государственный университет, Университетская наб. 7/9, Санкт-Петербург,
199034 Россия
zaitsev@pdmi.ras.ru
- Аннотация:
Пусть $X_1,\ldots,X_n$ -- ограниченные с вероятностью единица $d$-мер\-ные
независимые случайные векторы. Для простоты будем считать, что у них
нулевые средние значения:
\begin{equation}\nonumber
\mathbf{P}\{\|X_{j}\|\le\tau\}=1,\quad\mathbf{E}\,X_{j}=0,\quad
j=1,\ldots, n.
\end{equation}
Изучается поведение распределения суммы $S=X_{1}+\cdots+X_{n}$ в
зависимости от ограничивающей величины $\tau$.
Из неравномерной оценки Бикялиса в одномерной центральной предельной
теореме следует, что
$$
W_1(F,\Phi_{\sigma})\le c\tau.
$$
с абсолютной постоянной $c$,
где $W_1$ -- транспортное расстояние
Канторовича--Рубинштейна--Васерштейна, $F$ -- распределение суммы $S$, а
$\Phi_{\sigma}$ -- соответствующее нормальное распределение. Основной
результат статьи значительно сильнее и точнее. Утверждается, что найлется гакая $c$, что
$$
\rho(F,\Phi_{\sigma}) =\inf\int\exp(|x-y|/c\tau)\,d\pi(x,y)\le c,
$$
где инфимум берется по всем двумерным вероятностными распределениям $\pi$
с маргинальными распределениями $F$ и $\Phi_{\sigma}$. Результат обобщен
также на распределения с достаточно медленно растущими кумулянтами из
класса $\mathcal{A}_{1}(\tau )$, введенного в работе автора 1986 года.
Обсуждается вопрос о возможности обобщения результата на многомерный
случай.
Библ. -- 43 назв.
- Ключевые слова: неравенства, суммы независимых случайных векторов,
оценки транспортного расстояния, центральная предельная теорема
[inequalities, sums of independent random vectors, transport distance estimates,
central limit theorem]
Полный текст(.pdf)