"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 544, стр. 185-210
Геометрические характеристики случайных счетных зонотопов
М. А. Кукушкин
Санкт-Петербургский государственный университет, Университетская наб. 7/9, Санкт-Петербург,
199034 Россия
mkukushkin2004@gmail.com
- Аннотация:
В данной заметке исследуются случайные счетные зонотопы в
$\mathbb{R}^d$, т.е. объекты вида
$Z_\alpha = \bigoplus_{k=1}^{\infty}\Gamma_k^{-\frac{1}{\alpha}}[0,\varepsilon_k]$,
где $0 < \alpha < 1$, $\Gamma_k=\sum_{j=1}^{k}\tau_j$, $\{\tau_j, \, j\ge 1\}$
суть н.о.р. случайные величины с общим стандартным экспоненциальным
распределением, а $\{ \varepsilon_j, \, j\ge 1\}$ суть н.о.р. случайные векторы
c общим распределением $\sigma$, сосредоточенным на единичной сфере
$S^{d-1}\subset \mathbb{R}^d$. Последовательности $\{\tau_j\}$ и
$\{\varepsilon_j\}$ предполагаются независимыми.
Граница центрально-симметричного тела такого вида, $\partial Z_\alpha$,
имеет нетривиальную канторовскую структуру. Интерес представляет оценка
размерности Хаусдорфа множества ее экстремальных точек, $
{\rm dim}_H({\rm ext}{Z_\alpha})$. В размерности $d=2$ верхняя и
нижняя оценки были получены в работе Давыдова и Паулаускаса (2019).
Однако уже при $d=3$ и в б\'oльших размерностях вопрос не только о нижней,
но и о верхней оценке оставался без ответа.
В статье формулируется и доказывается новый результат о верхней
оценке в произвольной размерности. А именно, утверждается,
что для любых $d \ge 2$ и
$0 < \alpha < 1$ выполнено $\dim_H({\rm ext}{Z_\alpha}) \le \alpha + d - 2$
почти наверное.
Библ. -- 11 назв.
- Ключевые слова: устойчивые случайные величины, зонотопы,
случайные счётные зонотопы, абстрактные конусы, размерность Хаусдорфа,
экстремальные точки
[stable random variables, zonotopes, random countable
zonotopes, abstract cones, Hausdorff dimension, extreme points]
Полный текст(.pdf)