"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 545, стр. 125-136

Парные корреляции нулей дзета-функции Римана и возмущения самосопряженных операторов

Д. Н. Запорожец, В. В. Капустин

С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А Стеклова РАН; С.-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

zap1979@gmail.com

С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Санкт-Петербург, Россия

kapustin@pdmi.ras.ru

Аннотация: Классический результат Х. Монтгомери утверждает, что преобразование Фурье функции парных корреляций нетривиальных нулей дзета-функции Римана имеет вид $|t|$ при $t\in(-1,1)$. Известно, что после подходящего поворота на вещественную ось множество этих нулей может быть реализовано как спектр несамосопряженного возмущения ранга один самосопряженного оператора $A$ с ``регулярным'' спектром. При условии истинности гипотезы Римана развернутое множество нулей дзета-функции можно рассматривать как спектр \emph{самосопряженного возмущения} того же оператора $A$, и это возмущение не может иметь конечный ранг. Мы докажем, что, более того, даже более слабое свойство парных корреляций Монтгомери не может выполняться ни для какого возмущения конечного ранга регулярного дискретного спектра. Мы также показываем, что можно подобрать компактное возмущение бесконечного ранга так, чтобы его собственные значения убывали быстрее любой экспоненциальной функции. Библ. -- 5 назв.
Ключевые слова: дзета-функция Римана, гипотеза Римана, парные корреляции Монтгомери, самосопряженные операторы, возмущения конечного ранга, компактные возмущения, детерминантный процесс с синус-ядром, гауссов унитарный ансамбль, модифицированные функции Бесселя, оператор Гильберта--Пойи, спектральная теория, нули дзета-функции} [Riemann zeta function, Riemann hypothesis, Montgomery's pair correlation conjecture, selfadjoint operators, finite-rank perturbations, compact perturbations, sine kernel determinantal process, Gaussian Unitary Ensemble (GUE), modified Bessel functions, Hilbert--P\'olya operator, spectral theory, zeros of the zeta function]

Полный текст(.pdf)