"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 545, стр. 145-156

Обобщение одной теоремы И. И. Привалова

А. С. Колпаков, Н. А. Широков

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ''ЛЭТИ'', Санкт-Петербург

kolpakov.andrew@gmail.com

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербург

nikolai.shirokov@gmail.com

Аннотация: Пусть $E\subset \mathbb{C}-$ компакт. Множество $E$ называется множеством Аль\-фор\-са--Давида размерности $\theta$, $0<\theta<2$, если для любой точки $z\in E$ и круга $\overline{B}_r(z)\overset{\rm def}{=}\{\zeta:\ \left|\zeta-z\right|\le r\}$ при $00,$ $C_2>0,$ не зависящими от $z$ и $r$, выполнены соотношения $$ C_1r^{\theta}\leq \Lambda_{\theta}(E\cap\overline{B}_r(z))\leq C_2r^{\theta}.\eqno (1) $$ В соотношении~(1) $\Lambda_{\theta}(S)$ -- $\theta$-мера Хаусдорфа множества $S$. В работе доказано следующее утверждение. Пусть $\Gamma-$ замкнутая жорданова кривая, являющаяся множеством Альфорса--Давида размерности $1+\alpha,$ $0<\alpha<1,$ $\alpha<\beta<1,$ $D-$ внутренняя область, ограниченная кривой $\Gamma,$ $G-$ внешняя область. Через $H^{\beta}(\Gamma)$ обозначим пространство комплекснозначных функций, определенных на $\Gamma$ и удовлетворяющих условию Гёльдера порядка $\beta,$ $H^{\beta}(\overline{D})-$ пространство функций, аналитических в $D$ и удовлетворяющих в $\overline{D}$ условию Гёльдера порядка $\beta$, $H^{\beta}(\overline{G})-$ пространство функций, аналитических в $G$, обращающихся в ноль на бесконечности и удовлетворяющих в $\overline{G}$ условию Гёльдера порядка $\beta$. Доказано следующее утверждение.
Теорема. Пусть $f\in H^{\beta}(\Gamma).$ Тогда существуют функции $g\in H^{\beta}(\overline{D})$ и $h \in H^{\beta}(\overline{G})$ такие, что при $z\in\Gamma$ справедливо равенство $$f(z)=g(z)+h(z).$$ Библ. -- 5 назв.
Ключевые слова: аналитические функции, классы Гёльдера, условие Альфорса--Давида [analytic functions, H\"older classes, Ahlfors--David sets]

Полный текст(.pdf)