"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 545, стр. 157-167
Мультипликативная полиномиальная аппроксимация
А. Н. Медведев, Н. А. Широков
Санкт-Петербургский электротехнический университет,
ул. проф. Попова, д.5, Санкт-Петербург, Россия}
komedvedev@gmail.com
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В.А. Стеклова
Российской академии наук, Санкт-Петербург
nikolai.shirokov@gmail.com
- Аннотация:
Пусть $\mathcal{D}$ -- ограниченная область на комплексной плоскости $\mathbb{C} $, граница которой достаточно гладкая, а именно, угол наклона касательной к границе относительно оси $x$ удовлетворяет условию Гёльдера с каким-то показателем относительно длины дуги границы. Обозначим через $\hlsm$, $0<\alpha<1$, класс функций, аналитичных в $\mathcal{D}$ и удовлетворяющих в $\overline{\mathcal{D}}$ условию Гёльдера порядка $\alpha$.\par
Для функций $f\in\hlsm$ справедлива факторизация на внутренний и внешний сомножители, $f=FI$, где внешняя функция $F$ определена через значения $|f|$ на границе $\partial \mathcal{D}$, а для внутренней функции $I$ справедливо соотношение $|I(z)|=1$ для п.в. $z\in\partial\mathcal{D}$.\par
Доказана следующая теорема.
-
Теорема.
Пусть $f\in\hlsm$, $f=F\cdot I$, где $I$ --- внутренняя, а $F$ --
внешняя функции в $\mathcal{D}$. Для всякого $n\in\mnat$ существуют полиномы
$P_n$, $q_n$ степени не выше $n$ со следующими свойствами.
Существуют постоянные $c_{f,1}$ и $c_{f,2}$ такие, что при $z\in\partial\mathcal{D}$ справедливы соотношения
$$
|f(z)-P_n(z)q_n(z)|\leq c_{f,1} \cdot n^{-\alpha},~ |F(z)-P_n(z)|\leq c_{f,2}\cdot n^{-\alpha},
$$
существует постоянная $c_{\mathcal{D}}$ такая, что для всякого $z\in\mathcal{D}$ выполняется оценка
$$
|q_n(z)|\leq c_{\mathcal{D}},
$$
и при $z\in\mathcal{D}$ имеет выполняется соотношение
$$
q_n(z) \xrightarrow[n \to \infty]{} I(z).
$$
Библ. -- 5 назв.
- Ключевые слова: полиномы, аппроксимация, классы Гёльдера, области с гладкой границей
[polynomials, approximation, H\"older classes, domains with smooth boundary]
Полный текст(.pdf)